第02讲 常用逻辑用语（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）.docx

第02讲常用逻辑用语

【人教A版2019】

模块一

模块一

充分条件与必要条件

1．充分条件与必要条件

命题真假

“若p,则q”是真命题

若p,则q是假命题

推出关系及符号表示

由p通过推理可得出q，记作：p?q

由条件p不能推出结论q，记作：

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

2．充要条件

如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，记作p?q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．

【注】：“?”的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．

3．充分、必要与充要条件的判定

(1)如果既有p?q，又有q?p，则p是q的充要条件，记为p?q.

(2)如果p?且q?，则p是q的既不充分也不必要条件.

(3)如果p?q且q?，则称p是q的充分不必要条件.

(4)如p?且q?p，则称p是q的必要不充分条件.

4．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件

设.

(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；

(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；

(3)若，则与互为充要条件.

【题型1充分条件与必要条件的判断】

【例1.1】（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（????）

A．“x4”是“x

B．在△ABC中，“AB2+A

C．若a,b∈R，则“a2+b2

D．“x为无理数”是“x2

【解题思路】利用集合的包含关系可判断A选项的正误；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断D选项的正误；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误.

【解答过程】对于A选项，xx?2?x

所以“x4”是“x?2”的必要不充分条件，A选项正确；

对于B选项，充分性：若AB2+A

所以△ABC为直角三角形，充分性成立；

必要性：若△ABC为直角三角形，

则“∠BAC为直角”或“∠ABC是直角”或“∠ACB为直角”，所以“AB2+AC2

即必要性不成立.

因此“AB2+A

对于C选项，充分性：因为a2+b2≠0

所以a=b=0不成立，所以a、b不全为0，充分性成立；

必要性：若a、b不全为0，则a2

因此“a2+b2≠0”是“a

对于D选项，

充分性：取x=2，则x为无理数，但

必要性：若x2为无理数，则x

所以“x为无理数”是“x2

故选：B.

【例1.2】（2024高三·上海·专题练习）已知x∈R，则“x38”是“x2

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解题思路】由充分条件和必要条件的定义求解即可.

【解答过程】x38?x2，x2?x2

所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，

则“x38”是“

故选：A.

【变式1.1】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数.例如3.27=3，0.6=0.那么“x?y1”是“[x]=[y]

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解题思路】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可.

【解答过程】如果x?y1，比如x=3.9,y=4.1，则有x?y

根据定义，x=3,

即“x?y1”不是“[x]=[y]

如果x=y=n,n∈Z，则有x=n+d1,y=n+

故“x?y1”是“[x]=[y]

故选：B.

【变式1.2】（23-24高一上·广东江门·期中）设m,n∈R，当mn≥0时m?n=m+n；当mn0时m?n=m+n.例如?6?4=2，则“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的（

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【解题思路】结合新定义，根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解答过程】当a=0，b=?1或a=?1，b=0时，ab=0，

由mn≥0时m?n=m+n知，a?b=?1+0=?1，

当a?b=?1时，根据定义可知ab≥0，所以a+b=?1，故只要满足ab≥0且a+b=?1即可，

显然不止a=0，b=?1或a=?1，b=0这种情况，

比如a=b=?12，

所以“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的充分不必要条件.

故选：A.

【题型2充分条件和必要条件逆向求参问题】

【例2.1】（23-24高