离散型随机变量的分布.ppt

关于离散型随机变量的分布第一节二项分布一、二项分布的定义P98(BinomialDistribution)二项分布是从著名的贝努里实验中推导出来的。所谓贝努里实验是指只有两种可能结果的随机实验。二项分布是一种应用非常广泛，也非常重要的一种分布。第2页,共28页，星期六，2024年，5月我们以投硬币为例，投一次硬币，只有两种结果，正面朝上或反面朝上，单次实验就形成一个二点分布；正面朝上的次数取值只有两个，要么1次，要么0次；我们这样来表达：P(X=1)=p，P(X=0)=q接下来，我们来四次掷币，每次抛币都不会影响下一次抛币的结果，所以是独立实验；正面朝上的次数这个随机变量的取值就不会只是两个，而是会有4＋1个取值。即：正面出现0次和1、2、3、4次。我们用小p来表示正面朝上的概率，用q来表示反面朝上的概率，我们把X的取值相应写成：X=0,X=1,X=2,X=3,X=4，来求这个随机变量X的概率分布。第3页,共28页，星期六，2024年，5月（1）X=0时，P(X＝0)＝1/2*1/2*1/2*1/2=q*q*q*q=1/16＝0.0625（2）X=1时，P(X=1)=p*q*q*q*4==1/4＝0.25（3）X=2时，P(X=2)=p*p*q*q*6==6/16＝0.375（4）X=3时，P(X=3)=p*p*p*q*4==1/4＝0.25（5）X=4时，P(X=4)=p*p*p*p==1/16＝0.0625第4页,共28页，星期六，2024年，5月我们推广到n次，则可以写出一般性的二项分布的概率分布公式： (X共有n+1个取值)第5页,共28页，星期六，2024年，5月二项分布的定义如果在相同条件下进行n次独立试验，每次试验只有2种可能的结果，事件A出现的概率P(A)=p,事件A不出现的概率P()=q,那么，n次试验中事件A出现次数（随机变量X）的概率分布为：x=(0,1,2,….n)，可以简写为：B(n，p)(BinomialDistribution)，其中n为独立试验次数，p为每次试验中A出现的概率。第6页,共28页，星期六，2024年，5月由于p＋q＝1，所以只要知道了n和p，该二项分布就已经被确定。我们可以不用计算，而是通过查表的方法非常方便的了解随机变量的概率分布的全貌。二项分布表的用法。第7页,共28页，星期六，2024年，5月随机变量取值在某一区间内的概率：（1）事件A至多（最多）出现m的概率：（2）事件A至少出现m次概率：（3）事件A出现次数不少于a，不大于b的概率为：（4）事件A出现的全部概率之和：第8页,共28页，星期六，2024年，5月二、二项分布的讨论（1）二项分布是离散型随机变量的分布。X的取值有n+1个。（2）二项分布的图形当p=0.5时是对称的；当p≠0.5时则是非对称的。但是当n越大的时候，越趋向于对称。（3）二项分布的特征值：（4）二项分布由概率p和实验次数n两个参数决定，也可以简单记为B(n，p)。（5）二项分布的概率值即可以通过公式计算，也可以通过查表求得。（6）二项分布的特点是，已经知道两种结果发生的概率，实际上对总体的情况已经有所了解。这是求抽样时（任何样本量下）每得到一个样本个体的概率。第9页,共28页，星期六，2024年，5月【例】根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率是0.95。设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？解：任选一人能否活到下一年与他人无关，因此是独立事件。因为只有两种结果，所以符合二项分布。n=10，p=0.95第10页,共28页，星期六，2024年，5月【例2】一场火星文的考试，共10道单项选择题（五选一），你随机猜测答案。试问：（1）能够及格的概率是多少？（2）一道也答不对的概率是多少？（3）答对1－3道的概率是多少？（4）答对的期望值和方差。解：由题意得，p=0.2，n=10，第11页,共28页，星期六，2024年，5月【练习1】按照以往的经验，你在5点半到5点40这段晚高峰内等到公共汽车的概率是90％。一个星期内（周一到周五）你每天下班（5：30）时等车都不会超过10分钟概率时多少？至少有2天等车会超过10分钟的概率是多少？求期望值和方差。【练习2】设离散型随机变量，概率，求：（1）参数p值；