等边三角形压轴必考题型归纳（解析版）—2024-2025学年八年级数学上册（浙教版）.pdf

等边三角形压轴必考题型归纳

【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】

【题型02：平行法法构造全等三角形】

【题型03：“截长补短法”构造全等三角形】

【方法点拨】

类型一﹑平行线法构造全等三角形：通过作平行线来构造全等三角形，这种方法在证明与等腰或等边三角形

相关的性质时非常有用。

类型三﹑截长补短法：在证明与三角形边长相关的性质时，可以通过截取或延长某一边，使得其长度等于另

一边，从而构造出全等三角形。这种方法在处理三角形的边长关系时非常有用。

【题型01：等边三角形中动点与全等三角形综合问题】

【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q

从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

1）求证：△ABQ≌△CAP；

2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它

的度数．

3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC

变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

【答案】见试题解答内容

【解答】1）证明：∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP＝BQ，

在△ABQ与△CAP中，

∵，

∴△ABQ≌△CAPSAS）；

2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，

∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…6分）

3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．7分）

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，

∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．

【变式1-1】如图，△ABD和△CBD都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC

上的动点．

1）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以1cm/s的

速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中∠EBF的大

小是否会发生变化？如果不变，请求出其大小？如果改变，请说明理由．

2）如果点E从点D出发，以1cm/s的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以2cm/s的

速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停

止运动．问当点E运动多少秒时∠EBF＝60°？

【答案】1）不变，60°，见解答；

2）2秒或6秒．

【解答】解：1）运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下：

由题意可得，BD＝BC＝AD＝CD＝6，∠BDA＝∠C＝∠CBD＝60°，DE＝DF，

在△BDE和△BCF中，

，

∴△BDE≌△BCFSAS），

∴∠DBE＝∠CBF，

∴∠EBF＝∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE＝∠CBD＝60°；

2）当∠EBF＝60°时，∠EBF＝∠CBD＝60°，

∴∠DBE+∠DBF＝∠DBF+∠CBE，

∴∠DBE＝∠CBF，

在△BDE和△BCF中，

，

∴△BDE≌△BCFASA），

∴DE＝CF，

设点E的运动时间为t秒，则DE＝t，DF＝2t，CF＝6﹣2t，

当0≤t≤3时，t＝6﹣2t，解得t＝2，

当3＜t≤6时，t＝2t﹣6，解