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数字信号处理(姚天任江太辉)第三版

课后习题答案

第二章

2、1判断下列序列就是否就是周期序列。若就是,请确定它得最小周期。

(1)x(n)=Acos()

(2)x(n)=

(3)x(n)=Asin()

解(1)对照正弦型序列得一般公式x(n)=Acos(),得出。因此就是有理数,所以就是周期序列。最小周期等于N=。

(2)对照复指数序列得一般公式x(n)=exp[]n,得出。因此就是无理数,所以不就是周期序列。

(3)对照正弦型序列得一般公式x(n)=Acos(),又x(n)=Asin()＝Acos()＝Acos(),得出。因此就是有理数,所以就是周期序列。最小周期等于N=

2、2在图2、2中,x(n)与h(n)分别就是线性非移变系统得输入与单位取样响应。计算并列得x(n)与h(n)得线性卷积以得到系统得输出y(n),并画出y(n)得图形。

解利用线性卷积公式

y(n)=

按照折叠、移位、相乘、相加、得作图方法,计算y(n)得每一个取样值。

(a)y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2

(b)x(n)=2(n)-(n-1)

h(n)=-(n)+2(n-1)+(n-2)

y(n)=-2(n)+5(n-1)=(n-3)

(c)y(n)===u(n)

2、3计算线性线性卷积

(1)y(n)=u(n)*u(n)

(2)y(n)=u(n)*u(n)

解:(1)y(n)=

==(n+1),n≥0

即y(n)=(n+1)u(n)

(2)y(n)=

==,n≥0

即y(n)=u(n)

2、4图P2、4所示得就是单位取样响应分别为h(n)与h(n)得两个线性非移变系统得级联,已知x(n)=u(n),h(n)=(n)-(n-4),h(n)=au(n),|a|1,求系统得输出y(n)、

解(n)=x(n)*h(n)

=[(n-k)-(n-k-4)]

=u(n)-u(n-4)

y(n)=(n)*h(n)

=[u(n-k)-u(n-k-4)]

=,n≥3

2、5已知一个线性非移变系统得单位取样响应为h(n)=au(-n),0a1用直接计算线性卷积得方法,求系统得单位阶跃响应。

2、6试证明线性卷积满足交换率、结合率与加法分配率。

证明(1)交换律

X(n)*y(n)=

令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成

` x(n)*y(n)=

==y(n)*x(n)

交换律得证、

(2)结合律

[x(n)*y(n)]*z(n)

=[]*z(n)

=[]z(n-t)

=x(k)y(t-k)z(n-t)

=x(k)y(m)z(n-k-m)

=x(k)[y(n-k)*z(n-k)]

=x(n)*[y(n)*z(n)]

结合律得证、

(3)加法分配律

x(n)*[y(n)+z(n)]

=x(k)[y(n-k)+z(n-k)]

=x(k)y(n-k)+x(k)z(n-k)

=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)

加法分配律得证、

2、7判断下列系统就是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

(1)y(n)=2x(n)+3(2)y(n)=x(n)sin[n+]

(3)y(n)=(4)y(n)=

(5)y(n)=x(n)g(n)

解(1)设y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于

y(n)=2[x(n)+x(n)]+3

≠y(n)+y(n)

=2[x(n)+x(n)]+6

故系统不就是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k)=T[x(n-k)]

故该系统就是非移变系统。

设|x(n)|≤M,则有

|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|

故该系统就是稳定系统。

因y(n)只取决于现在与过去得输入x(n),不取决于未来得输入,故该系统就是因果系统。

(2)设y1(n)=ax1(n)sin[n+]

y2(n)