立体几何外接球 .pdfVIP

学霸专题23：球通关92题

一、外接球问题

（一）由球的定义确定球心

在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，

那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以

得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．

结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．

结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中

点．

结论4：正棱锥的外接球的球心在其高所在直线上，具体位置可通过

计算找到．

结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中

点就是其外接球的球心．

（二）构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常

见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直

角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的

三棱锥都分别可构造长方体和正方体．

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正

方体．

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或

正方体．

（三）由性质确定球心

利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点

OOO

1

的连线垂直于弦的性质，确定球心．

（四）向量法计算球心坐标

建立空间直角坐标系，计算球心坐标．

二、内切球问题

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这

个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球．

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各

顶点的距离均相等．

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合．

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但未必重合．

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理．

5、体积桥是求内切球半径的通用做法．

三、研究透彻六个球

正方体的外接球、棱切球、内切球

正四面体的外接球、棱切球、内切球

学霸专题29：球通关92题

1．在四面体ABCD中，若ABCD3，ACBD2，ADBC5，

则四面体ABCD的外接球的表面积为（）

ABCD





．2．．6．8

4

2．在三棱锥中，，，，，

ASBCAB10ASCBSCACASBCBS

4

若该三棱锥的体积为15，则三棱锥SABC外接球的体积为（）

3



A．B．C．πD．

435

3

3．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰