第02讲 常用逻辑用语（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）.docx

第02讲常用逻辑用语

【人教A版2019】

模块一

模块一

充分条件与必要条件

1．充分条件与必要条件

命题真假

“若p,则q”是真命题

若p,则q是假命题

推出关系及符号表示

由p通过推理可得出q，记作：p?q

由条件p不能推出结论q，记作：

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，记作p?q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．

如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件．

【注】：“?”的传递性

若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p?q，q?s，则有p?s，即p是s的充要条件．

3．充分、必要与充要条件的判定

(1)如果既有p?q，又有q?p，则p是q的充要条件，记为p?q.

(2)如果p?且q?，则p是q的既不充分也不必要条件.

(3)如果p?q且q?，则称p是q的充分不必要条件.

(4)如p?且q?p，则称p是q的必要不充分条件.

4．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件

设.

(1)若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；

(2)若，则是的必要条件，是的充分条件；

(3)若，则与互为充要条件.

【题型1充分条件与必要条件的判断】

【例1.1】（23-24高一上·河北唐山·期中）下列结论中不正确的是（????）

A．“x4”是“x

B．在△ABC中，“AB2+A

C．若a,b∈R，则“a2+b2

D．“x为无理数”是“x2

【例1.2】（2024高三·上海·专题练习）已知x∈R，则“x38”是“x2

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1.1】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数x，x表示不超过x的最大整数.例如3.27=3，0.6=0.那么“x?y1”是“[x]=[y]

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1.2】（23-24高一上·广东江门·期中）设m,n∈R，当mn≥0时m?n=m+n；当mn0时m?n=m+n.例如?6?4=2，则“a=0，b=?1或a=?1，b=0”是“a?b=?1”的（

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【题型2充分条件和必要条件逆向求参问题】

【例2.1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知p：?2≤x≤10，q：1?m≤x≤1+m（m0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（????）

A．0m≤3 B．0≤m≤3

C．m3 D．m≤3

【例2.2】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式x?m1成立的充分不必要条件是13x12

A．?∞,?1

C．?34,

【变式2.1】（23-24高一下·浙江·期末）已知条件p:|x+1|2，条件q:xa，且?p是?q的充分不必要条件，则a的取值范围是（????）

A．a≤1 B．a≥1 C．a≥?1 D．a≤?3

【变式2.2】（23-24高三上·江苏南通·开学考试）设p:x?a≤3，q:2x2+x?1≤0，若p是q

A．?52,2 B．?52,2

【题型3充要条件的证明】

【例3.1】（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2

【例3.2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合A=x|x2+(m+1)x+4=0，B=x∈Z|x

(2)求证：A至少有2个子集的充要条件是m≤?5，或m≥3．

【变式3.1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，

【变式3.2】（23-24高二上·贵州黔东南·阶段练习）已知一元二次方程ax

（1）若x1=1,x2=?1

（2）求证：“x=0是方程ax2+bx+c=0(a≠0,b∈R,c∈R)

模块二

模块二

全称量词与存在量词

1．命题及相关概念

2．全称量词与全称量词命题

全称量词

所有的、任意一个、一切、每一个、任给

符号

?

全称量词命题

含有全称量词的命题

形式

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”

3．存在量词与存在量词命题

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的

符号表示

?

存在量词命题

含有存在量词的命题

形式