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渐开线齿轮轮廓线方程的建立

摘要

根据范成法齿轮切削原理，利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线

参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法

已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程，可以精确建立齿轮的三维模型，

以进行后续的刚度、强度分析。

关键词：范成法；包络线；渐开线齿轮；过渡曲线

引言

渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高，需要对其建

立三维模型进行动力学，静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时，需要

知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分：渐开线部分和过渡曲

线部分。渐开线部分主要用于传递运动，其曲线方程容易求到；过渡曲线部分不

传递运动，但是对轮齿强度有很大影响，然而鲜有文献介绍其具体方程，一般都

是近似处理，这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程，

采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程，提高后续的建模分析精

度。

范成法

近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法，冲压法、模锻法和切齿法等。

其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成

法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线

的原理来加工的。将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，

并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中，刀具的齿廓在轮坯上形成一

系列的曲线族，该曲线族的包络线便为所切齿轮的轮廓，如下图所示：

图1齿条刀具轮廓曲线族

常用的刀具有齿轮插刀，齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单，

其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程

为例，先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程，再根据包络线法求出其

曲线族的包络线方程，即可得到齿轮轮廓线方程。

包络线简介

在几何学中，某个曲线族的包络线，是跟该曲线族的每条线都至少有一点相

切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）



s

一般地，设一个曲线族的每条曲线C可表示为txs,t,ys,t，其中是

S

曲线族的参数t是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由







hs

sx,shs,y,shs

得出，其中以下的方程求得：

yxyx



hssh



若曲线族以隐函数形式Fx,y,s0表示，其包络线的隐方程，便是以下面

s

两个方程消去得到。



Fx,y,s0









Fx,y,s

0



s



轮廓曲线方程的建立

v

y1

Πm/4

A0.38m

m