电磁场与电磁波教案.ppt

4.4.1直角坐标系中的分离变量法第32页,共35页，星期六，2024年，5月第33页,共35页，星期六，2024年，5月第34页,共35页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第35页,共35页，星期六，2024年，5月**为什么q’放在这个位置上：1）感应电荷右边多、左边少，它们产生的场强也是右边大、左边小。2）感应电荷的分布应上下半球对称。主要内容边值问题的分类边值问题的唯一性定理镜像法分离变量法有限差分法第2页,共35页，星期六，2024年，5月4.1边值问题的分类边界条件：所讨论区域边界上电位的指定值（边值）来确定积分常数。边值问题：通过微分方程组和相关边界条件描述的问题。静态场问题通常分为两大类：1.分布型问题由已知场源（电荷、电流）分布，直接从场的积分公式求空间各点的场分布2.边值型问题已知场量在场域边界上的值，求场域内的场分布静态场边值问题的解法可分为：1.解析法给出的结果是场量的解析表示式，如镜像法、分离变量法2.数值法通过数值计算，给出场量的一组离散数据，如有限差分法、有限元法第3页,共35页，星期六，2024年，5月边界条件的类型：实际边值问题的边界条件分为三类：1.已知整个边界上的电位函数，称为“狄利克莱”边界条件2.已知整个边界上的电位法向导数，称为“诺伊曼”边界条件3.已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数，称为混合边界条件第4页,共35页，星期六，2024年，5月格林公式两式相减，得格林第二恒等式第5页,共35页，星期六，2024年，5月4.2唯一性定理边值问题的求解是偏微分方程的求解，同时要考虑解得存在性、唯一性和稳定性。已知整个边界上的电位函数（第一类边界条件），则场域的解答是唯一的。已知整个边界上的电位法向导数（第二类边界条件），则场域的解答是唯一的。已知一部分边界上的电位函数和另一部分边界上的电位法向导数（第三类边界条件），则场域的解答是唯一的。第6页,共35页，星期六，2024年，5月唯一性定理证明（用格林公式，反证法）第7页,共35页，星期六，2024年，5月用于求解分布在导体附近的电荷产生的场。4.3镜像法第8页,共35页，星期六，2024年，5月?几个实例：qq′非均匀感应电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代?求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位?接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷q′等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代第9页,共35页，星期六，2024年，5月镜像法(methodofimages)实质：是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷（theimagecharge），而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。镜像电荷位置选择原则：1.镜像电荷必须位于求解区域以外2.镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。第10页,共35页，星期六，2024年，5月1.点电荷对无限大接地的导体平面的镜像?介质导体qrP?介质qrPhh?介质以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为?的空间，则空间任一点P的电位由q及q共同产生，即因为无限大接地导体平面的电位为零，求得4.3.1接地导体平面的镜像第11页,共35页，星期六，2024年，5月电荷守恒：当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量，读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。第12页,共35页，星期六，2024年，5月2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像电荷的密度和位置分别为?