高等数学（第二版）课件：函数的连续性与间断点.ppt

一、函数的连续性二、函数的间断点函数的连续性与间断点极限与连续三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质一、函数的连续性定义1设变量从它的一个初值变化到终值，则终值与初值的差就称为变量的增量，记为，即。增量可以是正的，可以是负的，也可以是零。当 时，变量从增大到，当时，变量从减小到。对于函数，当自变量从变化到，即在点取得增量时，函数相应地从变化到，取得增量，即。图(2.11)定义2设函数在点的某邻域内有定义，如果当自变量的增量趋向于零时，函数相应的增量也趋向于零，即则称函数在点处连续或称是的连续点。例1用定义证明在点处连续。证：在连续性定义中，令，即，则当 时，，且，于是可以改写为即定义3设函数在点的某邻域内有定义，如果则称函数在点处连续。从定义式可知，一个函数在点处连续，必需满足下列三个条件：（1）在有确定的函数值（2）极限存在（3）这个极限值就等于函数值显然可知，函数在点处连续的充分必要条件是在点处左、右连续。若，则称函数在点处左连续。若，则称函数在点处右连续；如果函数在开区间内每一点都连续，则称函数在开区间内连续。如果函数在开区间 内连续，且在处右连续，在处左连续，则称在闭区间上连续。二、函数的间断点由函数在某点连续的定义可知，如果在点处有下列三种情况之一，则是的一个间断点。定义4如果函数在点不连续，则称点为函数的一个间断点。（2）不存在；（3）存在，也有定义，但。（1）在的某个去心邻域内有定义，而在点没有定义；例2函数在点处无定义，所以是的一个间断点。又因为，所以点称为的无穷间断点。例3函数在点处有定义，，但在处，有即在处左、右极限不相等，在处极限不存在。所以是的一个间断点。例4函数在点处有定义，且但是所以点是的间断点。例5设函数在点处连续，求值。因为在处连续，则，而所以当时，函数在点处连续。解：定理1若函数与在点处连续，则这两个函数的和、差、积、商时在点