高等数学（第二版）课件：极限与连续.ppt

因此，对于单调增加数列来说，当它有界时，有，当它无界时，有；对于单调减少数列来说，当它有界时，有。当它无界时，有。由第一节我们知道，数列有界是数列收敛的必要条件。但对于单调数列来说，有界是其收敛的充分必要条件。二、两个重要极限重要极限Ⅰ证：如图在单位圆中，设圆心角,(),过点作圆的切线与的延长线交于，又作，垂足为。显然，，， 从图中可以看到：故即由于，，1均为偶函数，故以上不等式当时也成立。又，由夹逼准则，得解：例2求例3求解：例4求解：例5求此题不可以使用乘积的极限运算法则。由于，当时，，解：故重要极限Ⅱ从表中不难看出，当时，数列的变化趋势是稳定的，且可以证明它的极限存在。这个极限值记为，即是一个无理数，其近似值为。当取实数而趋于无穷大时，仍有如果令，当时，，上式还可以改写成根据时函数的极限定义、左极限和右极限的定义，可以得到下面的结论。定理1极限的充分必要条件是因此，当及都存在，但不相等，或者 与中至少一个不存在时，就可断言在处极限不存在。先分别求当时的左、右极限：例4设，试判断是否存在。由于左、右极限存在但不相等，所以极限不存在。解：例5判断极限是否存在。当趋向于0时，趋于，，即当趋向于0时，趋于，，即由充分必要条件可知不存在。解：一、无穷小量二、无穷小量的比较第三节无穷小量极限与连续三、无穷大量四、无穷小量与无穷大量的关系一、无穷小量定义1若当时（或时），函数的极限为0，则称函数当（或）时为无穷小量，简称无穷小。例如，因为，所以函数是当时的无穷小量。又如，因为，所以函数是当时的无穷小量。注意：无穷小量与一个很小的确定常数不能混为一谈，因为无穷小是一个以0为极限的变量。零是无穷小量中唯一的常数。无穷小量的代数性质：性质1有限个无穷小量之和仍为无穷小量。性质2有界函数与无穷小量之积仍为无穷小。推论常数与无穷小量之积为无穷小。例1求因为，即是时的无穷小，而，即在的任一去心邻域内有界。故由无穷小的性质2可得：是时的无穷小，即解：由无穷小的概念，我们可以看到函数有极限可以通过无穷小来表述：定理1的充分必要条件是，其中在时为无穷小量。这个定理也适用于的情形。例如，，函数，其中，即可以表示为与无穷小量之和。两个无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但它们的商的情况却不同。比较两个无穷小量在自变量同一变化过程中趋于零的“速度”是很有意义的。为此，我们引入下面的定义：例如，当