江苏省南通巿2024届高三4月联考数学试题.docVIP

江苏省南通巿2024届高三4月联考数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是（）

A． B． C． D．2

2．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（）

A． B．

C．1 D．3

3．设全集，集合，，则集合（）

A． B． C． D．

4．过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

5．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为

A． B．

C． D．

6．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（）

A． B． C． D．

7．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（）

A． B． C． D．

8．下列函数中，在区间上单调递减的是（）

A． B． C． D．

9．已知函数满足=1，则等于（）

A．- B． C．- D．

10．已知复数z，则复数z的虚部为（）

A． B． C．i D．i

11．复数（）．

A． B． C． D．

12．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）

A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）

C．（1，2） D．（﹣∞，1）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知集合，，则____________．

14．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______.

15．的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）

16．已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在三棱锥S-ABC中，∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D为棱AB的中点，SA=2

(I)证明：SD⊥BC；

(II)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.

18．（12分）在四棱柱中，底面为正方形，，平面．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

19．（12分）如图，在中，角的对边分别为，且满足，线段的中点为.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）已知，求的大小.

20．（12分）已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．

（1）证明：点始终在直线上且；

（2）求四边形的面积的最小值．

21．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.

22．（10分）设，函数，其中为自然对数的底数.

（1）设函数.

①若，试判断函数与的图像在区间上是否有交点；

②求证：对任意的，直线都不是的切线；

（2）设函数，试判断函数是否存在极小值，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.

【详解】

如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：

当时，有最大值为，即，故.

.

当，即时等号成立.

故选：.

【点睛】

本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.

2、D

【解析】

在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.

【详解】

因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.

故选:D.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.

3、C

【解析】

∵集合，，

∴

点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.

4、C

【解析】

由题意可得双曲线的渐近线的方程为.

∵为线段的中点，

∴，则为等腰三角形.

∴

由双曲线的的渐近线的性质可得

∴

∴，