2025年高中数学人教A版选择性必修3同步复习资料 专题7.1 条件概率与全概率公式（重难点题型精讲）（学生版）.pdfVIP

专题7.1条件概率与全概率公式（重难点题型精讲）

1．条件概率

(1)条件概率的定义

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(BA)为事件A发生的条件下，事件

B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)性质

设P(A)0，为样本空间，则

①P(BA)∈[0,1]，P(A)1；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)P(BA)+P(CA)；

③设​​​​​​​和B互为对立事件，则P(A)1-P(BA).

2．概率的乘法公式

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)·P(BA).

3．全概率公式及应用

(1)全概率公式

一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪Ω，且P()0，i1，2,，

n，则对任意的事件BΩ，有P(B)()·P().我们称此公式为全概率公式.

(2)全概率公式的意义

全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一

个划分Ω∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原

因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求

解.

4．贝叶斯公式

设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪Ω，且P()0，i1，2,，n，则对

任意的事件BΩ，P(B)0，有P().

贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件

如下：

(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知;

(2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()

已知；

(3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到；

(4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P().

【题型1条件概率的计算】

【方法点拨】

用定义法求条件概率P(B|A))的步骤：

(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)求解.

【例1】某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选

2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，

则=（）

3225

A．B．C．D．

53511

【变式1-1】（2023秋·湖南长沙·高三阶段练习）为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，

某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表

队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（）

15517

A．B．C．D．

567210

【变式1-2】（2023秋·全国·高三阶段练习）已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而

使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000