数学达标训练第一讲一平面直角坐标系.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

更上一层楼

基础·巩固

1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=0，则曲线C的方程为()

A。25x2+36y2=0B。9x2+100y2=0

C.10x+24y=0D.x2+y2=0

思路解析：将坐标直接代入新方程,即可得原来的曲线方程。将直接代入2x′2+8y′2=0,得2(5x)2+8（3y)2=0,即25x2+36y2=0为所求曲线C的方程。

答案：A

2△ABC中,若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是_______.

思路解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立直角坐标系,则B(-2，0）、C（2，0）,设A(x,y),则D(0，0），所以|AD|=.

答案：x2+y2=9(y≠0）

3在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

(1）5x+2y=0;（2）x2+y2=1。

思路分析：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可。

解:(1）由伸缩变换，得.将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线。

(2)将代入x2+y2=1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1。经过伸缩变换后，圆变成了椭圆。

4在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x′2—y′2—4x′+3=0，求满足图象变换的伸缩变换。

思路分析：x2-36y2-8x+12=0可化为（）2—9y2=1，①

x′2—y′2—4x′+3=0可化为（x′-2)2—y′2=1,②

比较①②，可得x′-2=，y′=3y。

解:伸缩变换为将曲线x2—36y2—8x+12=0所在的坐标系的x轴扩大到原来的2倍，y轴伸长到原来的3倍，就可得到曲线x′2—y′2—4x′+3=0的图象.

5已知△ABC，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且有BD∶DC=AE∶EB=CF∶FA。求证：△DEF与△ABC的重心重合.

思路分析：根据三角形的特点建立坐标系，利用重心坐标公式求解。

证明：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系,如图：

设A（a，b),B(0，0),C(c，0)，由重心G(),设=λ.

则点D(0），E(）,F（).

由重心坐标公式,可知△DEF的重心G′的坐标为：

（=（).

∴G与G′重合。也就是△DEF和△ABC的重心重合.

6已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定,顶点A是动点,sinB-sinC=sinA，求点A的轨迹。

思路分析：由于顶点A为动点，所以应该以底边为x轴建立坐标系，利用正弦定理求解。

解:

以底边BC为x轴，底边BC的中点为原点建立xOy坐标系，这时B(—6，0)，C（6，0)，由sinB-sinC=sinA,得b-c=a=6，即｜AC|—|AB|=6.所以,点A的轨迹是以B(-6,0)，C(6，0）为焦点，2a=6的双曲线的左支。其方程为=1(x〈-3）。

综合·应用

7如图1—

图1

（1)求点P的轨迹方程；

（2)经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点,且点C分所成比等于2∶3,求直线l的方程.

思路分析：先根据圆切线的定义，可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程;根据定比分点坐标公式，找出相关点的坐标,列出方程组求点M、N的坐标，从而求出直线方程.

解:（1）∵｜PE|=｜PD|，｜BD｜=｜BA｜，|CE|=｜CA｜,

∴｜PB|+|PC｜=|PD|+｜DB｜+|CE｜-|PE|=|BD｜+|CE｜=|AB｜+｜CA|=18＞6=|BC｜.

∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.

以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).

∵a=9，c=3,∴b2=72.

∴P点的轨迹方程是=1(y≠0)。

(2）设M（x1,y1）、N(x2,y2),

∵C(3,0)分MN所成的比为，

∴∴=1。

∴①

又=1，②

由①②消去y2,得=1.

解得x2=—3，y2=±8，即N(—3，±8)。

∴由C、N可得直线的方程是4x+3y—12=0或4x—3y-12=0.

8如图1-1—6,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米,要求通行车辆限高

图1

(1）若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?（半个椭圆的面积公式为S=lh,柱体体积为底面积乘以高。本题结果精确到0.