工程数学第3讲.矩阵.pptVIP

第二章矩阵

2.1矩阵的概念

对于一般线性方程组

;在实际应用中求解线性方程组并不用克莱姆法那么，而是采用高斯消元法。

高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法的推广，现在我们将其用在m个方程n个未知元的一般情况。

消元法的根本思想是通过消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组。

下面举例说明：;例1解线性方程组;将第1个方程乘(-2),(-3),(-5)分别加到2,3,4个方程上,得;将第2个方程乘(-2)加到第3,4个方程上;再将第3,4方程乘(-1),(-1/3),并交换位置;由(2.2)易知x4=0,将其代入第3方程得x3=-1,再回代前两个方程,分别得x2=2,x1=1.所以(1,2,-1,0)是原方程组(2.1)的解.

形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组.;将结果(1,2,-1,0)回代到方程(2.1)中验算:;从上述解题过程可以看出,用高斯消元法解线性方程组的具体做法是对方程组反复施行以下三种变换:

用一个非零常数乘某一个方程,简称倍乘初等变换;

把某个方程乘以常数再加到另一个方程上,简称为倍加初等变换;

互换两个方程的位置,简称为互换初等变换.

这三种变换称为方程组的初等变换.可证明方程组经初等变换后得到的方程组是原方程组的同解方程组.任何一个方程组都可经上述初等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组.;在计算机中解方程组(2.1)是将方程组保存为一个矩形数表,称之为方程的增广矩阵;Date;Date;Date;Date;Date;Date;Date;线性方程组;定义由m?n个实数aij(i=1,2,...,m;j=1,2,....,n)排成m行n列,并括以方括弧(或圆括弧)的数表;m?n个元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作0.

当m=n时,称A为n阶矩阵(或n阶方阵).

线性方程组(2.3)对应的矩阵(2.4)称为方程组(2.3)的增广矩阵,记作[A,b],其中由未知元的系数排成的矩阵A称为方程组的系数矩阵.;例2求解线性方程组;解写出方程;Date;Date;Date;Date;Date;(2.8)式矩阵称为简化的行阶梯形矩阵,它所对应的方程组;将简化的行阶梯形矩阵对应的方程组的自由变元挪到等号右边:;令x2=k1,x5=k2,k1,k2为任意常数,那么;当方程组;例3解线性方程组;第三行表示的方程0x1+0x2+0x3=2是无解的,故原方程组无解.

无解的方程组称为不相容方程组.有解的方程组称作相容方程组.

有时候会出现方程组中有多余的方程,称其为多余方程.;不妨假设增广矩阵化为如下行简化阶梯矩阵:;在有解的情况下:

(i)当r=n时,有唯一解x1=d1,x2=d2,...,xn=dn;

(ii)当rn时,有无穷多解,求解时把每行第一个非零元cii(i=1,2,...,r)所在列对应的未知量(这里是x1,x2,...,xr)取为根本未知量,也叫首项变元,其余未知量(这里是xr+1,xr+2,...,xn)取为自由未知量,也叫自由变元,并令自由未知量依次取任意常数k1,k2,...,kn-r,将它们代入(2.10)式所对应的方程组.;最后得到的解为;齐次线性方程组总是有解的,这是因为(2.3)中的常数项b1=b2=...=bm=0,从而(2.11)中d1=...=dr=dr+1=0.当r=n时,只有零解,即x1=x2=...=xn=0;当rn时,有无穷多解,其解是(2.11)式中d1=d2=...=dr=0的情形.

如果齐次线性方程组中方程个数m小于未知量个数n,那么必有无穷多个非零解.

用不同的初等行变换,化成的阶梯矩阵的形式不是唯一的,但阶梯阵的非零行数是唯一确定的,当方程组有解时,这说明解中任意常数的个数是相同的,但解的表示式不是唯一的,但每一种解表示的无穷解的集合又是相等的.