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复合函数问题

一、专题说明

复合函数是高考的难点,主要以基本初等函数为载体,考查函数的单调性、奇偶性、周期性和

对称性,有时与导数结合,常以选择题和填空题的形式出现,考查数形结合、转化与化归、函数与

方程、分类讨论等数学思想,考查数学运算、逻辑推理等核心素养.;二、类型分析;简记为内偶则偶;内奇同外.

2.复合函数的周期性

函数u=g(x)是定义在A上的周期函数,u∈C,f(u)在C上有定义,则复合函数f(g(x))也是A上的周期函

数,内层函数为周期函数,复合函数必为周期函数,内层函数的周期就是复合函数的周期;若外层函

数为周期函数,复合函数未必是周期函数.

3.复合函数的单调性

复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则,内外层单调性相同复合后为增函数,内外层单调性相

反复合后为减函数.;例1????(2020课标Ⅱ理,9,5分)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)?(????)

A.是偶函数,且在?单调递增

B.是奇函数,且在?单调递减

C.是偶函数,且在?单调递增

D.是奇函数,且在?单调递减;解析????函数f(x)的定义域为?,关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|

=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈?时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x)=?-?=

?0,∴f(x)在?单调递增,排除B;当x∈?时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f(x)=?-

?=?0,

∴f(x)在?单调递减,∴D正确.

答案????D;例2????(多选)(2023安徽宣城二调,12)已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(sinx),下列关于该函数的结论正

确的是(????)

A.f(x)的图象关于直线x=π对称

B.f(x)的一个周期是2π

C.f(x)在区间?上单调递增

D.f(x)的最大值为sin1+1;解析????对于A,f(2π-x)=sin[cos(2π-x)]+cos[sin(2π-x)]=sin(cosx)+cos(-sinx)=sin(cosx)+cos(sinx)=

f(x),故A正确.

对于B,f(2π+x)=sin[cos(2π+x)]+cos[sin(2π+x)]=sin(cosx)+cos(sinx)=f(x),故B正确.对于C,f?-f(π)

=cos1+sin1-1=?sin?-1?sin?-1=0,则f?f(π),又函数f(x)连续,所以C错误.

对于D,因为-1≤cosx≤1,y=sinx在[-1,1]上单调递增,所以当cosx=1时,y=sin(cosx)取最大值,为

sin1,当cosx=1时,sinx=0,y=cos(sinx)=cos0=1,也取得最大值,所以f(x)的最大值为sin1+1,故D正确.故

选ABD.

答案????ABD;类型二:复合函数的零点问题

1.零点的个数问题

解决复合函数y=f(g(x))的零点问题,要分内外层函数来考虑,第一层是考虑f(t)=0,求解使等式成立

的t的值,第二层是结合t的值,求解使得g(x)=t成立的x的个数,即为函数y=f(g(x))的零点个数.

2.由零点个数求参数的范围问题

由零点个数求参数的范围问题与函数的图象结合比较紧密,先画出函数y=f(t),t=g(x)的图象,然后确

定关于t的方程f(t)=0的解ti,再根据g(x)的图象特点,分配每一个函数值ti=gi(x)与哪些x的值对应,进

而确定参数的范围.;例3????(2023山西太原一模,7)已知函数f(x)=?若函数g(x)=f2(x)-(m+2)f(x)+2m恰有5

个零点,则实数m的取值范围为?(????)

A.(1,2)????B.(-1,0)????C.?????D.?;解析????因为函数g(x)=f2(x)-(m+2)f(x)+2m恰有5个零点,

所以方程f2(x)-(m+2)f(x)+2m=0恰有5个根,

由f2(x)-(m+2)f(x)+2m=0得(f(x)-m)·(f(x)-2)=0,所以方程f(x)=2和f(x)=m共有5个根.

当x-1时,f(x)=?,

则f(x)=?=?,

当-1x0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,0)上单调递增;

当x0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,

因为x-1,所以f(x)0,f(0)=2,

当x-1且x→-1时,f(x)→0,

x→+∞时,f(x)→0,

当x≤-1时,f(x)=?x2+6x+5=?(x+2)2-1,f(-1)=?,

根据以上信息,作