立体几何高考专题--外接球的几种常见求法 .pdfVIP

立体几何高考专题--外接球的几种常见求

法

高三微专题：外接球

在立体几何中，外接球问题是一个重点和难点。其实质是

确定球心O的位置和使用勾股定理求解外接球半径（其中底

面外接圆半径r可根据正弦定理求得）。

一、由球的定义确定球心

在空间中，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的

距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心。

简单多面体外接球问题是立体几何中的重点和难点。

二、球体公式

球的表面积公式为S=4R²，球体积公式为V=4/3R³。

三、球体几个结论：

1）长方体、正方体外接球直径等于体对角线长。

2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心。

3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角）。

4）正三棱锥对棱互相垂直。

四、外接球几个常见模型

1.长方体（正方体）模型

例1：长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在

球O的球面上，则球O的表面积为14。

练1：体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球

的表面积为12。

2.正棱锥（圆锥）模型

对于侧棱相等，底面为正多边形的正棱锥，其外接球的球

心位置位于顶点与底面外心连线线段（或延长线）上。半径公

式为R²=(h-R)²+r²（其中R为外接球半径，r为底面外接圆半

径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理a=2rsinA求得）。

例2：已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为h，

体积为V，则这个球的表面积为____。正四棱锥的高为h，体

积为V，易知底面面积为，底面边长为。正四棱锥的外接球的

球心在它的高上，记为，得，在中。由勾股定理，所以球的表

面积为。

练2：正三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为3的正三

角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于。解析：

ABC外接圆的半径为，三棱锥S-ABC的直径为2R=，外接

球半径R=，外接球体积V=4/3R³=。

对于侧棱与底面垂直的直棱柱和圆柱，其外接球的球心位

置在上下底面外心连线中点处。半径公式为R²=r²+(h/2)²（其

中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱柱的高）。

以上是关于外接球的一些常见模型和公式，掌握这些内容

对于解决立体几何题目非常有帮助。

文章中的公式需要进行排版，应该写成：

公式：R2=r2+(h/2)2，其中R为外接球半径，r为底面

外接圆半径，h为棱锥的高，r可根据正弦定理计算（一边一

对角）r=(a/2)sinA

例3：在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，

∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表

面积为（）。A.11πB.7πC.1040πD.π33

解析：在△ABC中，BC=AC+AB-2ABcos120°=7，

∠ABC=∠ACB=2π/3

BC=7，△ABC的外接球直径为

2r=BC/sin∠BAC=7/(√3/2)=(14/√3)

R2=r2+(h/2)2=(14/√3)2+(2/2)2=40/3，R=√(40/3)=

(2/√3)√10，S=4πR2=π(40/3)=(40/3)π

选D

练3：

1）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于。

解析：BC=2√3，2r=BC/sin∠BAC=2√3/(√3/2)=4，

∴S=4πr2=16π

答案：16π

2）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2

的同一个球面上，则该圆柱的体积为。

解析：该圆柱可以看成是一个长方体，长为2，宽为1，

高为1，∴V