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立体几何巧思妙解之割补法

在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了

然的作用。

一、求异面直线所成的角

例1、如图1，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB

的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）

A900B600C450D300

分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。如图1，只要AC的中点G，

连EG，FG，解△EFG即可.应该是情理之中的事。若把三棱锥巧妙补形特殊的正方

体，定会叫人惊喜不已。

巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC补成一个正方体AGBHACBS，

11

QEF//AA,异面直线EF与SA所成的角为AAS450。故选C。

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二、体积问题

例2、如图3，已知三棱锥子P—ABC，PABC234,PBAC10,PCAB241，则三棱

锥子P—ABC的体积为（）。

A40B80C160D240

分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶

点到底面的高无法作出，自然无法求出。若能换个角度来思考，注意到三

棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不

难解决。

巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P—ABC补成一个长方体AEBG—FPDC，易

知三棱锥P—ABC的各边分别是长方体的面对角线。

不妨令PE=x,EB=y,EA=z，则由已知有：

22



xy100



22

xz136x6,y8,z10

，从而知



22

yz164



VVVVVVV4V

PABCAEBGFPDCPAEBCABGBPDCAFPCAEBGFPDCPAEB

1

681046810160

6

例3、如图5，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，

且ADE、BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为

（）

2343

（A）（B）（C）（D）

3332

1

分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊

的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。

巧思妙解：如图6，过A作AG⊥EF，连DG，由对称性易知DG⊥EF；同理，过B作BH⊥EF，连

CH，也由对称性易知CH⊥EF，从而有EF⊥面ADG，EF⊥面BCH。从

而该多面体的体积等于直三棱柱ADG—BCH与三棱锥E—ADG，

三棱锥E—BCＨ的体积。由已知：

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EGFH,AGDGBHCH,SS,VV2V

22VADGVBCH4EFABCDABDBCHEADG

14422

SGH2SEGS