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立体几何割补法

立体几何中的割补法解题技巧

邹启文

※高考提示

立体几何中常用割补法解题.特别是高考中的立体几何题很多可用割补法解,有

时解起来

还比较容易.

※解题钥匙

例1(2005湖南高考，理5)如图，正方体ABCD—ABCD的棱长为1，O是底面

ABC

的中心，则O到平面ACD的距离为()11

2231A、B、C、D、4222

分析:求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太

好做垂线，考虑O为AC的中点，故将要求的距离11

与A到面ACD的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该111

图中割出一个三棱锥A—ACD而进行解题。111

解:连AC，可得到三棱锥A—ACD，我们把这个正方体的其1111

它部分都割去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥

的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与的直2角三角形。这个三棱维又可

视为三棱锥C—AAC，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角111

2形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为，故应选B。2

例2(2007湖南高考，理8)棱长为1的正方体ABCD—ABCD1111的8个顶点都

在球O的表面上，E，F分别是棱AA、DD的中点，11则直线EF被球O截得的线段

长为()

22A、B、1C、1+D、222

分析:在该题中我们若再在正方体上加上一个球，则该图形变得复杂而烦琐，

而又考虑到面AADD截得的球的截面为圆，且EF11

在截面内，故可连接球心抽出一个圆锥来。

解:如图，正方体ABCD—ABCD，依题O亦为此正方体的中心，补侧面1111

可得圆锥0—AD(如下图)，AD为平面AD，球0截平面AD1111

其底面圆心正为线段AD之中点，亦为线段EF之中点，割去正方体和球1

的其它部分，只看这个圆锥，容易看出球O截直线EF所得线段长就等于这个

圆锥底面圆的直径AD之长，故选D。1

例3(2005全国高考I，理5)如图，在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为

1的正方形，且?ADE、?BCF均为正三角形。EF‖AB，EF=2，则多面体的体积为()

2343A、B、C、D、3332

分析:显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们

在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故

在此可采用分割的方法。将已知图形割为一个直棱柱与两个

全等的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。

解:如下图，过AD和BC做分别EF的直截面ADM及截面BCG，面ADM‖面BCG，

31O为BC的中点，在?BCF中求得FO=，又可推得FG=，又OG?EF，22

22?GO=S=?BCG24

22?V=2V=BCG-ADMF-BCG412

222?V=+=，故选A。ABCDEF4123

例4(湖南高考，2007，理18)，如图2，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD

的中点，G是EF上的一点，将?GAB、?GCD分别沿AB、CD翻折成?GAB，?GCD，并连

结GG，1212使得平面GAB?平面ABCD，GG?AD，且GGAD，连结BG，如图3。

112122

(?)证明:平面GAB?平面GADG112

(?)当AB=12，BC=25，EG=8时，

求直线BG和平面GADG所成的角。212

解:仔细观察图形和对照已知条件，依题:面ABCD，

面ABG，面EFGG，面面互相垂直，通过补121

形可知所得图形是长方体ABCD—ABCD中1111

的一部分，如图4。

图4(?)?GG?AD，AD?面GBA，GG面GADG1211212,

?结论成立。

(?)长方体的三共点棱AB=12,BC=25，BB=8，又可推得FG=17，GG=10，BG=10，

12121BG=10，EG=8，又面BAG?面AGG