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立体几何中的补形与等效问题

一.将正四面体放在正方体中

主要结论：

1.正四面体的每一个面是正三角形，反之亦然.

2.正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体.

3.正四面体的对棱中点的连线都互相垂直且相等，等于棱

2

长的倍，反之亦真.

2

4.正四面体的外接球与正方体外接球相同.

ABCD2MNBC

例1．已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱AD，的中点，为棱AB

F

上异于，的动点．有下列结论：

AB

①线段MN的长度为1；

②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直

线；

5



③MFN的余弦值的取值范围为0,；





5



④FMN周长的最小值为21．

其中正确结论的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

解析：由于是一个正四面体，所以可以通过正方体来解决该问题.

对于①，可根据M,N分别为正方体前后两个面的中心可得出结论：正确

对于②，F取为AB的中点，G取为MN的中点，此时FG与CD相交：错误

35

cos，由逼近思想可作出判断：正确

对于③，计算可得MBN

35

对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形ABC与ABD放在同一平面上，可计算出

NFMF2，正确

例2．如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB2，E,F分别是AD,BC中点.若用一个与

直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形

截面，则该多边形截面面积最大值为.

A．1B．2C．3D．2



解析：补成正方体，如图.QEF,∴截面为平行四边形MNKL,可得NKKL2，

NKKL

MN//AD,KL//BC,ADBC,KNKLSNKKL()21,

又且可得

四边形MNKL2

当且仅当NKKL时取等号，选A.

二．对棱相等的四面体

四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱

相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．

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