第01讲 集合综合（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）.docx

第01讲集合综合

【人教A版2019】

模块一

模块一

集合的概念与表示

一、集合的概念

1．集合概念

(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

2．集合中元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．

(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．

(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．

3．元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．

(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A．

【注】符号“∈”和“?”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.

4．常见数集

数学中的一些常用的数集及其记法：

5．集合的分类

集合的分类：有限集、无限集．

特殊集合：空集，记为?.

二、集合的表示方法

列举法、描述法、图示法、区间法.

【题型1集合中元素的互异性】

【例1.1】（23-24高三下·山东青岛·开学考试）已知x∈1,2,x2，则x

A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2

【解题思路】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解.

【解答过程】由元素和集合关系可知：x=1或x=2或x=x

解的x=0或1或2，

由集合的性质可知，当x=1时，1,2,1不满足互异性，

所以x的取值为0或2.

故选：C.

【例1.2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合A=12,a2+4a,a?2，?3∈A，则

A．?1 B．?3或1 C．3 D．?3【解题思路】根据元素与集合的关系求出a值，然后代入检验即得.

【解答过程】因A=12,a2+4a,a?2，?3∈A，故有：

由a2+4a=?3解得：a=?1或a=?3，由a?2=?3解得：

又因a=?1时，a2+4a=a?2=?3，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而a=?3时

故选：D.

【变式1.1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知集合A=0,2a+1,a2?2，若

A．1 B．-1 C．0 D．±1

【解题思路】根据?1∈A得a2?2=?1或

【解答过程】由?1∈A，可得a2?2=?1或2a+1=?1，解得：a=1或

当a=1时，集合A=0,3,?1

当a=?1时，集合A=0,?1,?1

综上，a=1.

故选：A.

【变式1.2】（23-24高一·全国·课后作业）由a2,2?a，4组成一个集合A，且A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（

A．1 B．?2 C．?1 D．2

【解题思路】逐个选项代入判断是否满足集合的互异性即可.

【解答过程】对A，当a=1时，a2=1，

对B，当a=?2时，a2

对C，当a=?1时，a2=1，

对D，当a=2时，a2

故选：C.

【题型2元素与集合关系求参】

【例2.1】（24-25高一上·全国·单元测试）已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，则实数

A．2 B．3 C．0 D．?2

【解题思路】分别令m=2，m2?3m+2=2，解出

【解答过程】若m=2，则m2?3m+2=0，则A=0,2,0根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去；若m2?3m+2=2

若m=0，则A=0,0,2

若m=3，则A=0,3,2

故选：B.

【例2.2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合A=0,m,m2?3m+2，且2∈A，则实数

A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3

【解题思路】由题意可得m=2或m2

【解答过程】因为A=0,m,m2

所以m=2或m2

①若m=2，此时m2

②若m2?3m+2=2，解得

当m=0时不满足元素的互异性，当m=3时，A={0,3,2}符合题意.

综上所述，m=3.

故选：B.

【变式2.1】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合A={x|2mx?30,m∈R}，其中2∈A且1?A，则实数m的取值范围是（

A．34,32 B．34,

【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得.

【解答过程】由题意可得2m×2?302m×1?3≤0，解得3

故选：A.

【变式2.2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合A=x∈Rax2+2x+1=0，其中a∈R.若1是集合A

A．?3 B．1 C．?13,1

【解题思路】根据1是集合A中的一个元素，求得a，进而再解方程求解.

【解答过程】解：∵1∈A,∴a+2+1=0,∴a=?3，

∴集合A中的