第03讲 基本不等式及其应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）.docx

第03讲基本不等式及其应用

【人教A版2019】

模块一

模块一

基本不等式

1．均值定理

均值定理：如果a、b∈R+(R+表示正实数)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a=b时，式中等号成立.

此定理又称均值不等式或基本不等式.

2．基本不等式推广：≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).

叫做a和b的平方平均值，eq\f(a＋b,2)叫做算术平均值，eq\r(ab)叫做几何平均值.

3．基本元素为ab，a+b，a2+b2；其中一个为定值，都可以求其它两个的最值.

4．利用基本不等式求最值的条件(1)“一正”：即求最值的两式必须都是正数.

(2)“二定”：要求和a+b的最小值，则乘积ab须是定值；要求乘积ab的最大值，则和a+b须是定值.

特殊情况下，至少要求各项的和、积是一个可化简的定式.

(3)“三相等”：只有满足不等式中等号成立的条件，才能使式子取到最大或最小值.

(4)“四同时”：多次使用基本不等式时，需同时满足每个等号成立的条件.

【题型1基本不等式链】

【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若a，b∈R且ab0，则下列不等式中不恒成立的是（????）

A．a2+b2≥2ab B．a+b≥2ab

【例1.2】（23-24高一上·上海·期中）若实数a、b满足ba0，下列不等式中恒成立的是（????）

A．2a+b2≥2

C．2a+b22

【变式1.1】（2024高一·全国·课后作业）若a,b∈R+，则在①ba+ab≥2，②1

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式1.2】（2024高二上·新疆·学业考试）若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（???

A．a2+b

C．a+b+c≥2 D．

【题型2\o由基本不等式比较大小\t/gzsx/zj135331/_blank由基本不等式比较大小】

【例2.1】（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（????）

A．甲更合算 B．乙更合算

C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算

【例2.2】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足c?b=a+2a?2，c+b=2a2+2a+2a，且a0，则a，b，c的大小关系是（????）A．bca

【变式2.1】（23-24高一上·辽宁朝阳·期中）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（ab），其全程的平均时速为v，则（????）

A．v=a+b2 B．v=a+b2ab C．

【变式2.2】（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，取

A．x+y12 B．x+y=12 C．x+y12 D．以上选项都有可能

模块二

模块二

基本不等式的应用

1．最值定理

最值定理：两个正数的乘积为常数，则两数相等时，它们的和取得最小值；两个正数的和为常数，则两数相等时，它们的乘积取得最大值.

即已知x，y都是正数，

(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．

2．常见的求最值模型

(1)模型一：，当且仅当时等号成立；

(2)模型二：，当且仅当时等号成

立；

(3)模型三：，当且仅当时等号成立；

(4)模型四：，当且仅当时等号成立.

3．利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.

(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

【题型3直接法求最值】

【例3.1】（