专题06 半角模型巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.pdfVIP

半角模型巩固练习（提优）

1.如图，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180º，AB＝AD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE＋

FD＝EF，求证：∠EAF＝∠BAD.

【解答】见解析

【解析】证明：将△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，如

图：

∵旋转，∴AG＝AF，BG＝DF，∠ABG＝∠D，∠BAG＝∠DAF，

∵∠B＋∠D＝180º，∴∠B＋∠ABG＝180º，∴点G、B、C三点共线，

∵BE＋FD＝EF，∴BE＋BG＝GE＝EF，在△AEG与△AEF中，

，∴∠EAG＝∠EAF，

又∵∠BAG＝∠DAF，∴∠EAB＋∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠BAD.

2.已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45º，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它

们的延长线）于点M、N，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN.

（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜

想一下，并加以证明；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写

出你的猜想.

【解答】（1）猜想：BM＋DN＝MN；（2）猜想：DN－BM＝MN

【解析】（1）猜想：BM＋DN＝MN.

证明：如图，将△AND绕点A顺时针旋转90º，得到△ABE，则E、B、M共线，

∴∠EAM＝90º－∠NAM＝90º－45º＝45º，

∵∠NAM＝45º，在△AEM与△ANM中，

，∴ME＝MN，

∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴DN＋BM＝MN；

（2）猜想：DN－BM＝MN.

证明：在线段DN上截取DQ＝BM，如图所示.

在△ADQ与△ABM中，，

∴∠DAQ＝∠BAM，∴∠QAN＝∠MAN，

在△AMN与△AQN中，，

∴MN＝QN，∴DN－BM＝MN.

3.已知在△ABC中，ACB90，CACB62，CDAB于D，点E在直线CD上，

，点F在线段AB上，M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点.

（1）如图1，若点E在线段CD上，请分别写出线段AE和CM之间的位置关系和数量关系：

___________，___________；

（2）在（1）的条件下，当点F在线段AD上，且AF2FD时，求证：CNE45；

（3）当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F，使得CNE45．若存在，请直

接写出AF的长度；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）AE⊥CM，AE＝CM；（2）见解析；（3）AF＝8.

【解析】（1）AE⊥CM，AE＝CM.

如图，延长AE交CM于点H.

∵∠ACB＝90º，CA＝CB＝，CD⊥AB于点D，

∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACD＝∠BCD＝45º，AD＝BD＝CD＝AB，

∵M是DB的中点，∴，

∵.

在△AEC与△CMB中，，

∴AE＝CM，∠CAE＝∠BCM，

∵∠ACM＋∠BCM＝90º，∴∠ACM＋∠CAE＝90º