专题06 半角模型综合应用（能力提升）（原卷版）.pdfVIP

专题06半角模型综合应用（能力提升）

1．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF＝45°，将△ADE绕点A

顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE＝2，BF＝3，则GM＝．

2．如图：已知正方形ABCD，动点M、N分别在DC、BC上，且满足∠MAN＝45°，△CMN

的周长为2，则△CMN面积的最大值是．

3．旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中

到一起，从而方便解决问题．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E在边BC

上，且．

（1）如图a，当α＝60°时，将△AEC绕点A顺时针旋转60°到△AFB的位置，连结

DF．

①∠DAF＝；②求证：DF＝DE；

（2）如图b，当α＝90°时，猜想BD、DE、CE的数量关系，并说明理由．

4．已知∠MBN＝60°，等边△BEF与∠MBN顶点B重合，将等边△BEF绕顶点B顺时针

旋转，边EF所在直线与∠MBN的BN边相交于点C，并在BM边上截取AB＝BC，连接

AE．

（1）将等边△BEF旋转至如图①所示位置时，求证：CE＝BE+AE；

（2）将等边△BEF顺时针旋转至如图②、图③位置时，请分别直接写出AE，BE，CE

之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若BF＝4，AE＝1，则CE＝．

5．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别

交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关

系：；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关

系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的

长．

6．问题提出：

如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外

接圆半径是．

问题探究：

如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段

BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．

问题解决：

如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是

射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．

7．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝45度．则有结

论EF＝BE+FD成立；

（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC，CD

上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请

证明；不成立，请说明理由．

（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝

180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF

＝BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．

8．已知，四边形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的两边AM、AN分别交CB、DC与

点M、N，连接MN，作AH⊥MN，垂足为点H

（1）如图1，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；