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奔驰定理的推论证明
奔驰定理是一个几何定理，指出在一个三角形中，如果从一个顶
点向对面的边作垂线，那么三条垂线将会交于同一点。这个点被称为
三角形的垂心。
推论一：垂心到三角形三边的距离相等。
证明：设ABC为一个三角形，H为其垂心，从H向AB、AC、BC
作垂线，分别交于D、E、F。则根据垂线定理可知，AH=HD，BH=HE，
CH=HF。因此，AH+BH=HD+HE，AH+CH=HD+HF，BH+CH=HE+HF。将这三个
等式相加，得到：
2(AH+BH+CH)=(HD+HE+HF)+(HD+HF+HE)
即2(AH+BH+CH)=2(HD+HE+HF)
因此，AH+BH+CH=HD+HE+HF，即垂心到三边的距离相等。
推论二：三角形的外心为垂心连线的中点。
证明：设ABC为一个三角形，H为其垂心，O为其外心，从O向
AB、AC、BC作垂线，分别交于D、E、F。则根据外心的定义，AO=BO=CO。
又根据垂线定理，AH=HD，BH=HE，CH=HF。因此，OD=OE=OF。又因为
H为三角形ABC的垂心，所以OH为垂心连线的中线，即OH=2OD。因
此，O为垂心连线的中点。
综上所述，垂心到三角形三边的距离相等，三角形的外心为垂心
连线的中点，这些都是奔驰定理的推论。
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