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小学奥数解析十三用割补法求面积

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边

形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位

置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边

形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：

分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下

图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中

AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。

（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分

之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部

分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段

（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

（1）割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

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（2）拼补法

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任

意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底

长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角

三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上

页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所

2

求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米）。

例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

..

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分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给

这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′

面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，

即所求矩形的面积也是24。

例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面

2

积大40厘米。求乙正方形的面积。

分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，