中山大学2023年《850高等代数》考研专业课真题试卷 .pdfVIP

中山大学2023年硕士研究生招生考试试题

科目代码：850科目名称：高等代数

考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效

一、（15分）已知行列式

1924

1926

||

2001

2023

()

ᵄ表示ᵅ,ᵅ元素的余子式，求ᵄ−2ᵄ−3ᵄ+4ᵄ。

ᵅᵅ21222324

二、（15分）已知矩阵

410−1

0301

ᵃ=()

0040

1005

()

（1）求ᵃ的特征多项式ᵅᵆ；

ᵃ

()

（2）求ᵃ的最小多项式ᵅᵆ；

ᵃ

（3）求ᵃ的若尔当标准型。

()432()3

三、（15分）已知ᵅᵆ=ᵆ+2ᵆ−4ᵆ−7ᵆ−2，ᵅᵆ=ᵆ−2ᵆ−4。

()()()()

（1）求ᵅᵆ与ᵅᵆ的首一最大公因式(ᵅᵆ,ᵅᵆ)；

()()()()()()()()()

（2）求多项式ᵆᵆ，ᵆᵆ使得ᵆᵆᵅᵆ+ᵰᵆᵅᵆ=(ᵅᵆ,ᵅᵆ)，且ᵅᵅᵅ(ᵆᵆ)

()()()

ᵅᵅᵅ(ᵅᵆ)，ᵅᵅᵅ(ᵆᵆ)ᵅᵅᵅ(ᵅᵆ)。

42222

四、（15分）设ℝ中多项式ᵄ=ᵆ+ᵆ+ᵆ−2ᵆ+6ᵆᵆ+4ᵆᵆ+4ᵆᵆ+6ᵆᵆ−

123412142324

2ᵆᵆ。求ᵄ的正负惯性指数。

34

五、（15分）设ᵄ是ᵅ维复线性空间，ᵃ，ᵃ是ᵄ上的线性变换，且ᵃᵃ−ᵃᵃ=2023ᵃ。证明：

()

存在ᵃ的特征向量ᵆ，使得ᵃᵆ=0。

六、（15分）设ᵃ，ᵃ是ᵅ阶复方阵，证明：ᵃ，ᵃ有公共的特征值当且仅当存在ᵅ阶非零复方

阵ᵄ，使得ᵃᵄ=ᵄᵃ。

2()()

七、（15分）设ᵃ是ᵅ阶矩阵，ᵃ=ᵃ，证明：ᵅᵃ+ᵅᵃ−ᵃ=ᵅ。

ᵅ

八、（15分）设ᵃ为ᵅ阶复方阵，ᵰ为ᵃ的特征值，假设存在正数ᵄ，使得对任意正整数ᵅ，ᵃ，

||

的所有元素模长都小于ᵄ，证明：ᵰ≤1，且当ᵰ=1时，ᵰ的几何重数等于代数重数。