多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略(解析版) .pdfVIP

专题34多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略

【高考地位】

球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，

即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几

何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或

者在解答题中以小问的形式出现．

类型一球的内切问题

万能模板内容

使用场景有关球的内切问题

解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；

第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系

第三步得出结论.

例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；

（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．

【答案】（1）；（2）当时，体积之和有最小值．

【点评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应

在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图2的截面图，在图2中，观察与和棱长间

的关系即可．

【变式演练1】一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，

这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

【答案】球取出后，圆锥内水平面高为．

【解析】

又，则，解得．

答：球取出后，圆锥内水平面高为．

【点评】先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积

等于球的体积，列式求解．

考点：空间几何体的体积；

【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面

积与体积．

【答案】，．

∴得：，

∴．∴．

【点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出，

以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为的球两两外切，

其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的

球心这间的距离都是，四个球心构成一个棱长为的正四面体，可以计算正四面体的高为

，从而上面球离开桌面的高度为．

考点：空间几何体的球体积和表面积.

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【变式演练】【江西省乐平市第一中学届高三上学期联考理科】已知正三棱柱的体积

为54，，记三棱柱的外接球和内切球分别为球，球，则球上的点到球上

的点的距离的最大值为（）

A．B．C．D．

D

【答案】

【分析】

由正三棱柱知外接球与内切球的球心重合，两球面上点的最大距离为，根据底面

外接圆的半径与侧棱长即可求外接圆半径，内切圆