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微专题7等和线、奔驰定理、三角形四心
1.平面向量等和线定理
→→→→→→
平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P在直
OP||OB|1|OA|1|
线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝＝＝，则λ＋μ＝k(定值)，
OF||OB||OA||
反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系
数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1，
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0.
2.三角形“四心”
→→→1
(1)点O是△PPP的重心⇔OP＋OP＋OP＝0⇔S△P＝S＝S＝
1231232OP3△P1OP3△P1OP23
S；
△PPP
123
→→→→→→→
(2)点O是△PPP的垂心⇔OP·OP＝OP·OP＝OP·OP⇔tanPOP·＋tan
12312233111
→＋tanP→＝0⇔S∶S∶S＝tanP
POP·OP·∶
2233△POP△POP△POP1
233112
tanP∶tanP(△PPP不是直角三角形)；
23123
→→→
(3)点O是△PPP的内心⇔aOP＋bOP＋cOP＝0⇔S△POP∶S△POP∶S△
1231232331
POP＝a∶b∶c(其中a，b，c是△PPP的三边，分别对应角P，P，P)；
12123123
→→→→→
(4)点O是△PPP的外心⇔|OP|＝|OP|＝|OP⇔|OPsin∠POP＋OP
1231231232
→∶S∶S＝sin2P
sin∠POP＋OPsin∠POP＝0⇔S
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