相似三角形的判定与性质综合运用经典题型..docVIP

相似三角形的判定与性质综合运用经典题型

考点一：相似三角形的判定与性质:

例1、如图,△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上,且∠APB=12０°.

求证：⑴△PAC∽△BＰＤ；⑵CD2=AC·ＢD.

例2、如图，在等腰△AＢC中,∠BAＣ＝９0°,AB=AC=1,点D是ＢC边上的一个动点（不与B、C重合)，在AC上取一点E,使∠ADＥ=45°（1)求证:△ＡＢD∽△DCE;

（２）设BＤ=ｘ,ＡE=ｙ，求y关于x函数关系式及自变量ｘ值范围，并求出当x为何值时AE取得最小值?

（3)在AＣ上是否存在点E,使得△ＡDE为等腰三角形?若存在，求AE的长;若不存在，请说明理由?

例3、如图所示,在平行四边形AＢＣD中，过点A作ＡE⊥ＢC，垂足为Ｅ,连接ＤE，F为线段DE上一点,且∠AFE=∠Ｂ:1)求证:△AＤF∽△ＤEC;2）若ＡB=4,,ＡＥ=3，求AF的长。AB

A

B

C

D

E

F

考点二:射影定理:

例4、如图，在RtΔＡBＣ中,∠ACB＝90°，CD⊥ＡB于D，CD=4ｃm，AD＝8cｍ,求AＣ、BC及ＢD的长。

例5、如图,已知正方形ABCD,E是AB的中点,Ｆ是AD上的一点，且AF＝eq\ｆ（1,4）AD，EG⊥CＦ于点G,

(1）求证:△AEF∽△BCＥ;(2)试说明：EG２＝ＣG·ＦG.

例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ＡBCＤ（ＡD〉ＡB）,将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开,折痕ＥＦ交AＤ边于E,交ＢC边于F，分别连结ＡF和CE．

(１）求证:四边形ＡＦCＥ是菱形;(2）若AＥ=10ｃｍ,△ＡBF的面积为２4cm２,求△ABF的周长；

(３）在线段AＣ上是否存在一点Ｐ，使得2AE2=AC·AＰ？若存在，请说明点的位置,并予以证明；若不存在,请说明理由．

考点三：相似之共线线段的比例问题:

例７、已知如图，P为平行四边形ABCＤ的对角线AC上一点，过P的直线与AＤ、BC、ＣD的延长线、ＡB的延长线分别相交于点Ｅ、F、Ｇ、H。

求证:

例8、如图,点P是菱形ABCD的对角线ＢD上一点，连接ＣP并延长,交ＡD于点E，交ＢA的延长线于点F．（１)求证：PＣ2=ＰE?PF；(２)若菱形边长为8,PE=２,ＥF=6，求FB的长.

例9、如图，CD是Rｔ△AＢC斜边上的高,E为AＣ的中点，ED交CB的延长线于Ｆ.

求证：BＤ?CF=CD?ＤF.

例10、如图:已知在等边三角形ABC中，点Ｄ、E分别是AB、BＣ延长线上的点,且BＤ=CE,直线CD与AＥ相交于点F．（１)求证:ＤC=AE;（2）求证:ＡD２=DC?ＤF.

例11、如图,Ｅ是矩形ＡＢCD的边BＣ上一点，EＦ⊥ＡＥ,ＥF分别交ＡC,CＤ于点M,F，BG⊥AC，垂足为Ｇ，BG交AE于点H．(１）找出与△AＢＨ相似的三角形,并证明；(2)若E是BC中点,BC=2AB,AB=２,求EＭ的长．

例12、如图，四边形ＡBCD、ＤＥFG都是正方形，连接AE、CＧ，AE与CG相交于点M，CＧ与AD相交于点Ｎ.求证:(1）ＡE=CG；（2)AN?ＤＮ＝CN?ＭN.

例13、如图,在Rt△ＡBC中，CD是斜边ＡB上的高，点M在CD上，DH⊥BＭ且与AC的延长线交于点Ｅ．求证:（1)△AＥD∽△CＢＭ；（２）AE?CM＝ＡC?CD．

例１4、如图，△ABＣ是直角三角形,∠ACB=9０°，ＣD⊥AB于Ｄ，E是AC的中点,ＥＤ的延长线与CB的延长线交于点F.(1）求证：ＦD2＝FＢ?FＣ;

(2）若G是BC的中点，连接ＧD，ＧD与EF垂直吗?并说明理由.

例1５、如图,四边形ABCD、CDＥF、EFGＨ都是正方形。

(1）⊿ACF与⊿ACG相似吗?说说你的理由。（２)求∠１+∠2的度数.

考点四:相似三角形的实际应用：

例16、如图，△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=１２0mｍ，高AD=80mm,要把它加工成矩形零件,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB、AＣ上．

（１)若这个矩形是正方形,那么边长是多少？

(２）若这个矩形的长PＱ是宽PN的2倍，则边长是多少？

例１7、已知左,右并排的两棵大树的高分别是AＢ=８m和ＣD=12m,两树的根部的距离ＢD=5ｍ。一个身高１。６m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看见右边较高的树的顶端点Ｃ？

例18、两颗树的高度分别为AB=6m，CD=8m,两树的根部间的距离AC=4m,小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进,如果小强的眼睛与地面的距离为1。6m,当小强与树AB的距离小于多少时,就不能看到树CＤ的树顶D？

例１9、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高,小亮发现因大树靠近学校围墙,大树的影子不全落在地面上,如图所示，