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专题进阶课一曲线运动的典型问题

学习任务一小船渡河问题

【核心归纳】

1.小船渡河情景

如图所示,一条宽为d的大河,小船从码头A出发,到对岸的码头B。已知河水流速为v水,小船在静水中的航速为v船。

2.处理方法

(1)小船渡河时实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(船在静水中的运动,运动方向为船头朝向的方向),船的实际运动是合运动。

(2)由于河的宽度是确定的,所以首先应确定渡河的速度,然后计算渡河的时间,再根据等时性分别研究两个分运动或合运动。

3.小船渡河问题的三种常见情况

情况

图示

说明

渡河

时间

最短

若要使小船渡河时间最短,只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大,即船头垂直于河岸,最短时间为tmin=dv船,此时渡河位移x

渡河

位移

最短

当v水v船时,如果满足v水-v船cosθ=0,合速度垂直于河岸,小船渡河位移最短,xmin=d,此时渡河时间t=d

当v水v船时,如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直,小船渡河位移最短。由图知sinθ=v船v水,最短渡河位移为xmin=

【典题例析】

【典例1】(2024·中卫高一检测)小船要横渡一条200m宽的河,水流速度为3m/s,船在静水中的航速是5m/s,求:(sin53°=0.8,cos53°=0.6)

(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时,它将在何时、何处到达对岸?

答案:(1)40s正对岸下游120m处

【解析】(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时,小船垂直河岸的速度即为小船在静水中的行驶速度,且在这一方向上,小船做匀速运动,故渡河时间t=dv船=

40s,小船沿河流方向的位移x=v水t=3×40m=120m,即小船经过40s,在正对岸下游120m处靠岸。

(2)要使小船到达河的正对岸,应如何行驶?多长时间能到达对岸?

答案:(2)船头指向与河岸的上游成53°角50s

【解析】(2)要使小船到达河的正对岸,则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸,如图甲所示,

则v合=v船

经历时间t=dv合=

又因为cosθ=v水v船=35=0.

(3)如果水流速度变为10m/s,要使小船航程最短,应如何航行?

答案:(3)船头指向与河岸的上游成60°角

【解析】(3)如果水流速度变为10m/s,如图乙所示,

要使小船航程最短,应使v合的方向垂直于v船,故船头应偏向上游,与河岸成θ角,有cosθ=v船v水=12,解得

[思维升华]小船渡河问题的分析思路

【对点训练】

某地进行抗洪抢险演练时,把一布娃娃放在一木盆(视为质点)中随河水流动,抢险战士发现这一情况时,抢险船(视为质点)和木盆的连线与河岸垂直,木盆到两岸的距离相等,两河岸平行,如图所示。抢险船在静水中的速度为5m/s,河宽为300m,河水流速为3m/s,不计战士的反应时间和船的发动时间,则最短的救援时间(船到达木盆的时间)为()

A.30s B.60s C.75s D.100s

【解析】选A。船与木盆在水中都随水流一起向下游运动,向下游运动的速度相等,所以若要救援的时间最短,则船头的方向始终指向木盆。所以最短的时间为tmin=d2v船=1505

【补偿训练】如图所示,一船夫摇船往返于河的两岸。若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点。第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点,第二次船的轨迹恰好与第一次船的轨迹重合。假设河水速度保持不变,则该船两次过河所用时间之比是()

A.v1∶v2 B.v2∶v1

C.v12∶v22

【解析】选D。由题意可知,船夫两次驾船的轨迹重合,知合速度方向相同,第一次船的静水速度垂直于河岸,第二次船的静水速度与合速度垂直,如图所示。船两次过河的合位移相等,则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比。则t1t2=v2合v1合=v2tanθv1sinθ=v2v

学习任务二两类关联速度

【核心归纳】

1.“关联”模型

关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物的情况。高中阶段研究的绳都是不可伸长的,杆都是不可伸长且不可压缩的,即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中,其速度通常是不一样的,但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等,我们称之为关联速度。

2.分析关联问题的思路

(1)先确定合运动,即物体的实际运动。

(2)确定合运动的两个实际作用效果,一是沿绳(或杆)方向的平动效果;二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果。即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)