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塞瓦定理
塞瓦线段（cevian）是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。
ADBECFO
塞瓦定理指出：如果的塞瓦线段、、通过同一点，则
BCCAAB
它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在的边、、或其延长线上，
且满足
，
ADBECF
则直线、、共点或彼此平行（于无限远处共点）。当AD、BE、CF中的任
ADBECF
意两直线交于一点时，则三直线共点；当、、中的任意两直线平行时，
则三直线平行。
证明
∵
由等比性质：
同理可证
，
∴。
托勒密定理
一般的四边形中，
在数学中，托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定
理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积，等号当且仅当四边
形为圆内接四边形，或退化为直线取得（这时也称为欧拉定理）。狭义的托勒密
定理也可以叙述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
它的逆定理也是成立的：若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘
积，则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四
边形的方法。
几何证明
1.设ABCD是圆内接四边形。
2.在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。
3.在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；因为∠ABK+∠CBK=∠
ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。
4.因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD相似于△KBC。
5.因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；
6.因此AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；
7.两式相加，得(AK+CK)·BD=AB·CD+BC·DA；
8.但AK+CK=AC，因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。证毕。
梅涅劳斯定理
情况1：直线LMN穿过三角形ABC情况2：直线LMN在三角形ABC外面
BCCAABLMN
如果一直线与的边、、分别交于、、，则有：
。
LMNBCCAAB
它的逆定理也成立：若有三点、、分别在的边、、或其延
长线上（有一点或三点在延长线上），且满足
LMN
则、、三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。
如图，设，，，则在中由正
弦定理，有
（1）
同理，因对顶角相等在和中有
（2）
及
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