上海市浦东区2024−2025学年度高二上学期期中联考 数学试题【含解析】.docx

上海市浦东区2024?2025学年度高二上学期期中联考数学试题【含解析】

一、填空题（本大题共12小题）

1．用符号表示“平面与相交于直线”．

2．在正方体中，与直线异面的直线是．（写出一个即可）.

3．空间中，斜线与平面所成角的取值范围为．（用弧度制表示）．

4．命题：“若两个平面垂直，那么过第一个平面上一点且垂直于第二个平面的直线，不一定在第一个平面上.”上述命题为（选填“真命题”或“假命题”）．

5．现行国际比赛标准排球的直径约为，在忽略材料厚度和制造误差的情况下，则排球的表面积大约为．

6．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为．

7．某圆锥的母线长为，侧面积展开图的圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为．

8．如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，直线与直线所成角为．

9．一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为．

10．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为，则三棱锥的体积是．

11．空间中存在三条不同的直线，直线与直线所成角为，直线与直线所成角为，直线与直线所成角的取值范围为．（用弧度制表示）.

12．我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体.则其体积约为（精确到0.1）．（参考数据：，）

二、单选题（本大题共4小题）

13．设、是平面外的两条直线，且，那么是的（）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

14．下列命题正确的是（）

A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直

B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行

C．过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直

D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行

15．若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于的一点，下列说法错误的是（）

A． B．

C． D．平面

16．如图所示，在四面体中，和都是等边三角形，且，则二面角的大小为（）

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共5小题）

17．如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．求异面直线与所成角的大小．

18．如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，分别是的中点．

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离．

19．如图，直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．

(1)求证：直线与直线垂直；

(2)求直线与平面所成的角的大小．

20．如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．

??

(1)求证：为线段中点；

(2)求二面角的正切值；

(3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由．

21．设计一个帐篷，它下部的形状是正四棱柱，上部的形状是正四棱锥，且该帐篷外接于球（如图所示）．

??

(1)若正四棱柱是棱长为的正方体，求该帐篷的顶点到底面中心的距离；

(2)若该帐篷外接球的半径，设，该帐篷的体积为，则当为何值时，体积取得最大值．

参考答案

1．【答案】

【详解】“平面与相交于直线”的符号表示，

故答案为：.

2．【答案】（或或或，答案不唯一）

【详解】如图，由异面直线的定义知，直线异面的直线是等，

故答案为：（或或或，答案不唯一）.

3．【答案】

【详解】根据斜线与平面所成角的定义可知，空间中，斜线与平面所成角的范围是.

故答案为：.

4．【答案】假命题

【详解】如图，我们将垂直的两个平面记为，两条直线分别记为，点记为，

由题意得，，且设，

过点作，故，

由面面垂直的性质得，因为过一点有且只有一条直线与垂直，

所以直线与直线重合，故.

故答案为：假命题.

5．【答案】

【详解】由题意知，排球半径，

则表面积.

故答案为：.

6．【答案】

【详解】依题意，矩形的面积，

由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积.

故答案为：

7．【答案】

【详解】设圆锥的底面半径为，由题有，解得.

故答案为：.

8．【答案】/60°

【详解】将正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，连接，

易知，则或其补角为直线与直线所成的角，

在中，易知，所以，