工程数学 课件 第5、6章 多元函数积分、 概率论.pptx

第5章多元函数积分;

第1节二重积分

;;

由于曲顶柱体的高f(x,y)是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可采用求曲边梯形面积的思想方法，即通过

分割：将区域D任意分成n个小区域

近似：在每个Δδi上任取一点(ξi,ηi)(见图5.1)，则;

求和：将上式累加，得

取极限：令Δδi中的最大直径λ趋于0，得;

例5.2如图5.2所示，设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y)，这里ρ(x,y)0且在D上连续。现在要计算该薄片的质量M。;;

2.二重积分的定义

定义5.1设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域

其中Δσi表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个Δσi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积

并作和;;;

二、二重积分的性质

性质5.1设α、β为常数，则

性质5.2如果f(x,y)在有界闭区域D上可积，D被连续曲线分成D1、D2两部分，D=D1∪D2且D1、D2无公共内点，则f(x,y)在区域D1、D2上可积，且

这个性质说明二重积分对积分区域具有可加性。;

性质5.3如果在D上，f(x,y)=1，σ为D的面积，则

性质5.4如果在D上，f(x,y)≤g(x,y)，则有

特殊地,由于

又有;

性质5.5设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有

性质5.6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得;;

第2节二重积分的计算;

一、在直角坐标系下求二重积分

先从几何上研究二重积分的计算问题，在讨论中我们假定f(x,y)≥0。若积分区域D可表示为

则称D为X型区域，它是由直线x=a、x=b及曲线y=φ1(x)、y=φ2(x)所围成(图5.3)，其中函数φ1(x)、φ2(x)在区间[a,b]上连续.X型区域的特点是：任何平行于y轴且穿过区域内部的直线与D的边界的交点不多于两个。;;

求以D为底，曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的???积(图5.4)。先计算截面积。在区间[a,b]上取定一点x0，作平行于yOz面的平面x=x0。这平面顶柱体所得的截面是一个以区间[φ1(x0),φ2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形(图5.4)所以这个截面的面积为

一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体的截面的面积为;;

于是,应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体的体积为

这个体积也就是所求二重积分的值,从而有等式;

上式右端的积分是先对y、后对x的二次积分。就是说,先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从φ1(x)到φ2(x)的定积分：然后把算得的结果(是x的函数)再对x计算在区间[a,b]上的定积分。这个先对y、后对x的二次积分也常记为

因此，等式(5.1)也写成

这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分公式。;

在上述讨论中，我们假定f(x,y)≥0，实际上公式(5.1)的成立并不受此条件的限制。类似地，若积分区域D可表示为

则称D为Y型区域，它是由直线y=c、y=d及曲线x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所围成，其中函数ψ1(x)、ψ2(x)在区间[c,d]上连续。同样Y型区域的特点是：任何平行于x轴且穿过区域内部的直线与D的边界的交点不多于两个。;;;

例5.5计算二重积分其中D是由直线y=x，x=1及x轴所围成的闭区域。

解画出积分区域D如图5.6所示，;

它既是X型，又是Y型。若D看成X型，则D可表示为

于是;

若将D看成X型,则D可表示为

于是;

例5.6计算二重积分其中D是由抛物线y=x2及直线y=x+2所围成的闭区域。

解画出积分区域D如图5.7所示，;

若D看成X型，则D可表示为

于是;

若将D看成Y型,则由于在区间[0,1]及[1,4]上x的积分下限不同,所以要用直线y=1把区域D分成D1和D2两个部分(图5.8),其中

于是;;;;;

例5.9求两个圆柱面x2+y2=a2，x2+z2=a2所围成的立体体积.

解由对称性知,所求立体的体积V是该立体位于第一卦限部分的体积V1的8倍(见图5.11).;