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关于数学学科21个大概念的研究报告

一、引言

数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、创新能力和解决问题的能力至关重要。在数学教育中，明确学科的大概念能够为课程标准的修订、教材开发与评估以及教师的教学实践提供有力的指导。查尔斯总结出的从幼儿园到8年级数学课程中的21个大概念，虽然与我国数学学科体系存在一定差异，但却为我国数学教育带来了新的视角和启发，具有重要的借鉴价值。

二、21个大概念概述

（一）大概念1：数

实数集的无限性以及实数与数轴上点的对应关系是这一大概念的核心。从数数的基数与序数概念，到正整数、整数、分数的各种特性，都体现了数的丰富内涵。例如，计数时最后一个数表示物品总数的累积计数方法，不同顺序数一组数总数不变的性质，以及数与数轴上点的一一对应关系等。分数的定义和性质更是丰富了数的概念，如分数表示整体的等分、分数与除法的关系、分数在数轴上的表示等。

（二）大概念2：十进制计数法

十进制计数法以数字0-9为基础，通过十进为一组和位值来记录数。在正整数中，位值的概念体现了数的组成方式，小数点向右移动一位相当于原数的10倍。小数的位值是正整数位值的扩展，十进制计数法可以应用于非常大和非常小的数。

（三）大概念3：等值性

数、度量、数值表达式和代数表达式等都可以进行等量代换。数可以以无限多的方式分解和命名，如利用位值进行等值命名。在数论与分数中，合数可以表示为质数之积，分数可以由不同但相等的分数表示。代数表达式和方程也有无数不同的等值方式命名，单位换算也体现了等值性。

（四）大概念4：比较

数、表达式和度量可以通过相对值进行比较。在数和表达式中，可以使用一对一对应、数轴位置、大小关系等方法进行比较。分数、比率和百分比可以通过部分与整体的比较、比率的含义、等级和百分数等进行比较。几何和测量中，长度、质量、面积、体积、温度、持续时间和角度等都可以进行比较。

（五）大概念5：运算意义与关系

相同的表达式可以与不同现实情况相关联，不同的表达式也可以与相同现实情况相关联。整数和有理数的运算规则不同，但都与现实问题有紧密联系。例如，加法和减法的逆运算关系、乘法和除法的解决问题方法，以及不同类型数的运算特性等。

（六）大概念6：属性

对于给定的一组数，有特定的关系规则。整数的运算性质在不同运算中有不同的适用性，如交换律适用于加法和乘法，而不适用于减法和除法。等式的不变性也体现了属性的特点，如等式两边加减相同实数或乘除相同非零实数，等式保持不变。

（七）大概念7：基本事实和算法

有理数运算的基本法则使计算更简单。心算方法利用数的关系和序列，数可以分解和分组以简化计算。正整数和有理数的算法包括基本事实、算法的发现、特殊情况的处理等。测量中的算法也是有理数算法的改进。

（八）大概念8：估算

数值计算可以通过用相近且易于心算的数字代替进行近似计算，测量过程中可以使用已知参考值作为单位进行估算。估算的数决定了估算值的高低，最简分数可用于估计涉及分数和小数的计算，估算还可以检查答案的合理性。测量中的估算可以使用已知参考资料和计算子区域对象数量等方法。

（九）大概念9：模式

数学情境中存在可归纳的规律和关系。数轴上的间隔数数、十进制记数法结构、乘法的乘积模式、正整数和小数的运算模式、序列中的常数差或比率等都是模式的体现。已知模式元素可以预测其他元素，几何对象的序列也以可预测的方式变化。

（十）大概念10：变量

变量、表达式和方程可以抽象地转化和表征数学情境与结构。字母在数学中用于表示概括性、未知数和量之间的关系，代数表达式可以表示数学短句和问题，概括平面上物体的变化。

（十一）大概念11：比例

两个量成正比例变化可表示为线性函数。比例是数量的乘法比较，给出相对大小而非实际大小。可以通过等值比例将比值表示为计量单位，比例是关系之间的关联，正比例关系对应项比值是常数，有多种解决比例问题的方法，比例关系可以用图形表示，还与相似图形、圆周率、比率形式等有关。

（十二）大概念12：关系和函数

数学规则可以将一个集合中的元素对应于另一个集合中的元素，函数是特殊规则，使一个集合中的每个元素在另一个集合中有唯一元素与之对应。关系可以用单词、表格、图表和方程表示和分析，一个量的值取决于另一个量的值，关系图可以分析关系是否为函数，线性函数的性质以及函数方程中的参数对函数图形的影响等。

（十三）大概念13：方程和不等式

数和代数的规则与等式概念一起用于转化方程和不等式以求解。方程的解是使方程成立的未知数的值，等式和可逆运算的性质可用于生成等价方程并求解，求解方程的技巧包括转化为等价方程、在有序对表或函数图中找解，求解不等式要考虑负数情况。

（十四）大概念14：形状和立体图形

二维和三维物体可以通过特性描述、分类和分析。点、线、线段和平面是空间物体的核心属性，多边形由