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多面体外接球半径常见的5种求法

一、公式法

例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同

9

一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为３，则这个球的体积为.

8

6x3,1

x,

解设正六棱柱的底面边长为，高为，则有2

x



h



93

2

6xh,



84h3．





13

∴正六棱柱的底面圆的半径r，球心到底面的距离d.∴外接球的半径

22

4

22

Rrd1.V.

球3

小结本题是运用公式222求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

Rrd

二、多面体几何性质法

例1（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面

积为.

解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角

线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表

面积为27.

例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的

体积为.

解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，

因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是23所以球的半径为3.

故该球的体积为43.

例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条

棱长分别为，则此球的表面积为.

1,2,3

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。

长方体体对角线长为14，故球的表面积为14.

例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为

16，则这个球的表面积是