3-5控制系统稳定性判据.pptx

线性系统的时域分析法控制系统稳定性判据

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控制系统稳定性判据

劳斯(Roth)稳定性判据

劳斯稳定性判据的特殊情况

赫尔维兹(Hurwith)判据

劳斯判据的应用

1.劳斯(Roth)稳定判据

判据步骤：

(1)写出系统闭环特征多项式(按S的幂次高低降幂排列)

(2)判定稳定的必要条件

a;0(i=0,…,n)

-1

n-1S+a

D(s)

1.劳斯(Roth)稳定判据

(3)列劳斯表

求解元素=

该位置相邻前一行的第一个元素

1.劳斯(Roth)稳定判据

(4)稳定的充要条件

劳斯表中第—列元素均大于0

若劳斯表第一列中出现负元素，则系统不稳定，且

第一列各元素符号的改变次数，代表特征根中含有的正实部根的数目。

s⁴

s³

2

S0

1

4

5.25

6.24

6

1.劳斯(Roth)稳定判据

例1:s⁴+4s³+8s²+11s+6=0

系统稳定。

8

11

6

6

1.劳斯(Roth)稳定判据

例1:s⁴+4s³+8s²+11s+6=0

S₁=-1

S₂=-2

S₃=-0.5-1.66jS₄=-0.5+1.66j

1

4

5.25

6.24

s⁴

s³s²

1

S

0

S

8

11

6

系统稳定。

6

6

s⁰10

系统不稳定。有2个在复平面右侧的特征根。

例2:s⁴+s³+s²+11s+10=0

s⁴1110

s³

1

11

s²

-10

10

s¹

12

1.劳斯(Roth)稳定判据

s⁴

1

1

10

S₁=-1

s³

1

11

S2=-2

s²

-10

10

S3=1+2j

S₄±1-2j

S

12

0

S

10

1.劳斯(Roth)稳定判据

例2:s⁴+s³+s²+11s+10=0

系统不稳定。有2个在复平面右侧的特征根。

(1)劳斯表中某行的第一项为0,而其余各项不为0或不全为0。

(2)劳斯表中出现全0行。

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

第一列各元素存在符号改变，

该系统不稳定。

符号改变2次，有2个在复平面右侧的特征根。

例3:

s⁴s³

2S

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

s⁴+s³+3s²+3s+2=0

1

1

0

3

3

2

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

例4:s⁶+2s⁵+8s⁴+12s³+20s²+16s+16=0

构造辅助方程：

2s⁴+12s²+16=0

求导得：

8s³+24s=0

s⁵

s⁴s³s²S

0

S

S6182016

1216

2

2

0

0

16

12

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

例4:s⁶+2s⁵+8s⁴+12s³+20s²+16s+16=0

构造辅助方程：

2s⁴+12s²+16=0

求导得：

8s³+24s=0

1

2

2

8

6

8/3

s⁵

s⁴s³s²

1

S

2016

16

8

12

12

24

16

s⁰16

16

6

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

劳斯表中出现全0行的原因：

特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，如：

*大小相等、符号相反的实根；

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

劳斯表中出现全0行的原因：

特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，如：大小相等、符号相反的实根；

一对共轭纯虚根；

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

劳斯表中出现全0行的原因：

特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，如：大小相等、符号相反的实根；

一对共轭纯虚根；

对称于实轴的两对共轭复根。

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

劳斯表中出现全0行的原因：

特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根，如：

大小相等、符号相反的实根；

一对共轭纯虚根；

对称于实轴的两对共轭复根。

辅助方程通常为偶数，上述根均可由辅助方程求解得到。其它根，根据是否有符号改变判断。

12

12

24

16

S02

构造辅助方程：

2s⁴+12s²+16=0

求导得：

8s³+24s=0

±2j

1

1

2.劳斯稳定性判据的特殊情况

例4:s⁶+2s⁵+8s⁴+12s³+20s²+16s+16=0

系统没有在复平面右侧的特征根，但有4个在虚轴上的特征根，为临界稳定的系统。

1

2

2

8

6

8/3

16

6S

s⁵s⁴s³s²s¹

s⁰

82016

16

16

S3,4

二

3.赫尔维兹(Hurwith)判据