专题15 分式【十二大题型】（解析版）-2024-2025学年八年级数学提优专题举一反三训练及试卷测试（人教版）.docx

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专题15分式【十二大题型】（解析版）

【人教版】

【题型1分式的判断】

【题型2分式有意义的条件】

【题型3分式值为零的条件】

【题型4分式的求值】

【题型5分式的规律性问题】

【题型6由分式的值为正（负）求字母的取值范围】

【题型7求使分式的值为整数时字母的的整数值】

【题型8利用分式的基本性质判断分式值的变化】

【题型9最简公分母】

【题型10最简分式】

【题型11约分、通分】

【题型12运用分式的基本性质求值】

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

【知识点1分式的定义】

【题型1分式的判断】

【例1】（2024秋?栾城区期中）下列各式：2x，x+33，3a+b4，x+13y

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据分式的定义逐个判断即可．

【解答】解：x+33，3a+b4

2x，x+13y，

故选：B．

【点评】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式．

【变式1-1】（2024秋?潍坊期中）下列代数式是分式的是（）

A．x2+y B．1x C．2xy

【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB

【解答】解：A、x2

B、1x

C、2xy不是分式，故此选项不符合题意；

D、x?24

故选：B．

【点评】本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题的关键．

【变式1-2】（2024春?江阴市期中）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：x?1x+1x2x?1这样的分式就是假分式：再如：3x+1，2xx2+1这样的分式就是真分式，假分数

解决下列问题：

（1）分式5x是真分式（填“真分式”或“假分式”）；假分式x?5x+4可化为带分式1?

（2）如果分式2x?4x?3的值为整数，求满足条件的整数x

（3）若分式?x2+6?x2?1的值为m

【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案．

（2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且x为整数，即可求得．

（3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合0＜1

【解答】解：（1）根据新定义可得：5x

x?5x+4

故答案为：真分式；1?9x+4

（2）2x?4x?3=2×x?2x?3=2×

∴x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，

解得x＝4或x＝2或x＝5或x＝1，

故满足条件的整数x的值为1，2，4，5．

（3）∵m=

=?(

=x

=x

＝1?7x

而∴x2+1≥1，

∴0＜1

∴0＜7

∴?7≤?7

∴?6≤1?7

∴﹣6≤m＜1．

故答案为：﹣6≤m＜1．

【点评】分式新定义题目，实际上是考查分式化简的知识，分式中分子分母同时满足某种关系时求得分式整体值的情况，对学生基础分析能力和知识迁移能力的考查非常明显．

【变式1-3】4．思考：a2a是分式还是整式？小明是这样想的：因为a2a=a2÷a＝a

【分析】根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．

【解答】解：小明的想法不正确．因为a2a的分母中含有未知数，所以

【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．

【题型2分式有意义的条件】

【例2】（2023春?衡山县期中）下列各式中，无论x取什么数时，总是有意义的分式个数是（）

①2xx

②x

③3xx

④x?5x

⑤xx

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】按照分式有意义，分母不为零即可求解．

【解答】解：①2xx2+1，无论x取什么数时，总有

②x2x+1，当2x+1≠0，即x≠?

③3xx3+1，当x3

④x?5x2，当x2≠0，即

⑤xx2?2x+2=x(x?1)2

综上所述，无论x取什么数时，总是有意义的分式个数是2个．

故选：B．

【点评】本题考查了分式有意义的条