数学学案：对数函数.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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数学人教B必修1第三章3.2。2对数函数

1．理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型．

2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象．

3．通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系．

4．熟练掌握对数函数的图象和性质．

1．对数函数的定义

函数____________称为对数函数，其中____是自变量．

为了更全面、更深刻地理解对数函数的概念，还应从以下两个方面进行理解：

（1)定义域：因为对数函数是由指数函数变化而来的，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是{x|x＞0｝．

（2)对数函数的底数：对数函数的底数a＞0且a≠1.

【做一做1】对函数y＝log(a＋1)x中,实数a满足的条件是__________．

2．对数函数的图象与性质

a＞1

0＜a＜1

图象

性质

定义域：________

值域：____

过点______，即当x＝____时，y＝____

x∈______时，y＜0

x∈______时，y＞0

x∈______时，y＞0

x∈______时，y＜0

在______上是增函数

在______上是减函数

（1）设y1＝logax，y2＝logbx，其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1,0＜b＜1)．

当x＞1时,“底大图低”，即若a＞b，则y1＜y2；

当0＜x＜1时，“底大图高”，即若a＞b，则y1＞y2.

（2）对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们,不妨作直线y＝1，它同对数函数的图象相交,交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，用这种办法可以很快比较出多个对数函数的底数的大小．

【做一做2－1】下列函数中，在区间（0，＋∞）上不是增函数的是（)

A．y＝5xB．y＝lgx＋2

C．y＝x2＋1D．

【做一做2－2】函数f（x)＝｜log2x|的图象是（)

【做一做2－3】若a＞0且a≠1,则函数y＝loga(x－1）－1的图象恒过点________．

一、底数对对数函数图象的影响

剖析：在同一坐标系中分别作出函数y＝log2x及y＝log3x的图象，如右图所示，可以看出：底数越大，图象越靠近x轴．同理，当0＜a＜1时，底数越小，函数图象越靠近x轴．利用这一规律，我们可以解决真数相同，对数不等时判断底数大小的问题．

类似地，在同一坐标系中分别作出y＝logax(a＞1）及y＝logax(0＜a＜1）的图象．如下图所示，它们的图象在第一象限的规律是：直线x＝1把第一象限分成两个区域,每个区域里对数函数的底数都是由左向右逐渐增大．比如,C1，C2，C3，C4分别对应,，,，则必有a4＞a3＞1＞a2＞a1＞0.

二、比较对数值大小的方法总结

剖析：利用对数函数的性质可以比较两对数式的大小，常用的方法是：当底数相同真数不相同时，直接利用对数函数的单调性进行比较,即a＞1时，在（0，＋∞）上是增函数,0＜a＜1时，在(0，＋∞）上是减函数;当底数不相同，真数相同时，可根据图象与底数的关系所反映出的规律进行比较，当底数和真数各不相同时，可考虑引进第三个数（常用“0”或“1”）分别与之比较，通过第三个数的传递进而比较出两数的大小．当底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小．

对于多个数的大小比较，通常先找出(－∞，0)，（0,1），（1，＋∞)中的各数,然后把位于同一区间中的数再进行比较．

三、教材中的“？”

对数函数y＝logax（a＞0且a≠1)，当a＞1，x取何值时，y＞0？x取何值时，y＜0？0＜a＜1呢？

剖析：结合对数函数的图象可知，

当a＞1时，若x＞1，则y＞0；若0＜x＜1，则y＜0.

当0＜a＜1时，若x＞1，则y＜0；若0＜x＜1，则y＞0.

实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y＝logmn有以下规律:

(1)当(m－1)(n－1）＞0,即m,n的范围相同（相对于“1”而言），则logmn＞0；

（2)当(m－1）(n－1）＜0,即m，n的范围相反（相对于“1而言),则logmn＜0。有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了．如,，log5π＞0等，一看便知，十分快捷．

题型一有关对数函数的定义域、值域的问题

【例1】求下列函数的定义域：

(1）y＝log（3x－1）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（2x＋3)，x－1)）)；

（2）.

分析：（1）使真数大于0，底数大于0且不等于1即可；

（2)使被开方数不小于0，且同时保证真数大于0。

反思：根据解析式,求与对数有关