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2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷

一.填空题（共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）

1．（4分）已知函数，若，则．

2．（4分）已知集合，，，则．

3．（4分）函数的值域是．

4．（4分）下列函数中，偶函数的序号为．

①

②

③

④

5．（4分）若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是．

6．（4分）设，关于的方程的解集为，若只有1个元素，则实数的取值范围是．

7．（5分）对任意实数，都有，则实数的最大值为．

8．（5分）若函数的值域为，，则实数的取值范围为．

9．（5分）设不等式的解集为，设函数且与轴有两个交点时实数的取值集合为，则．

10．（5分）已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是．

11．（5分）函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则的取值范围是．

12．（5分）已知实数，，，则的取值范围为．

二.选择题（4题共18分，13～14每题4分，15～16每题5分）

13．（4分）已知，则“成立”是“成立”的条件．

A．充要 B．充分非必要

C．必要非充分 D．既不充分也非必要

14．（4分）对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于

A． B． C． D．

15．（5分）已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．那么曲线关于曲线的关联点的个数为

A．0 B．1 C．2 D．4

16．（5分）①德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为

①狄利克雷为偶函数

②狄利克雷为奇函数

③狄利克雷函数值域为，

④对于任意，均有

⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出

⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点

A．①③④⑥ B．②③⑤ C．①④ D．②④⑥

三.解答题（共78分，17～19每题14分，20～21每题18分）

17．（14分）命题甲：集合，，且．

命题乙：集合，，且．

问题：若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求：实数的取值范围．

18．（14分）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法．

（1）已知实数，，，，，满足．求证：，，，，中至少有一个实数不小于1．

（2）已知，，，试比较：、、三者的大小关系．

（3）若实数，，，满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件．

19．（14分）由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．

（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．

20．（18分）利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径．

（1）已知函数，，若对任意，恒成立，求：实数的取值范围．

（2）设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：的取值范围．

①对于任意，的值为或；

②关于的方程无实数解．

（3）已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数．

21．（18分）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”．

（1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；

（2）若幂函数使得在，上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求：实数的取值范围；

（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合．

参考答案

一.填空题（12题共54分，1～6题每题4分，7～12题每题5分）

1．（4分）已知函数，若，则2．

解：函数，，

．

故答案为：2．

2．（4分）已知集合，，，则．

解：，，，

把代入方程，方程不成立，故，

再把代入方程，方程不成立，故，

．

故答案为：．

3．（4分）函数的值域是．

解：当时，，

当，．

若时，，当且仅当，即时等号成立，

此时，即，

若时，，

当且仅当，即时等号成立，

此时，即，

综上所述，函数的值域为．

故答案为：．

4．（4分）下列函数中，偶函数的序号为①②④．

①

②

③

④

解：①由，解得，

则原函数为，函数为偶函数；

②由，解得．

此时，函数为偶函数；

③，

当时，，此时，

当时