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确定主应力大小与方向问题分析

基础部秦定龙

一问题得提出

在工程结构设计中，为了全面评价梁得强度安全，确保工程结构万无一失,经常要遇到计算结构中得主应力得大小与确定主应力得方向问题,以便于分析结构破坏得原因,或者合理布置结构形式，或者正确布置结构内得受力钢筋等。图一（a）所示得钢筋混凝土简支梁,为什么会在轴线以下部分出现斜裂缝而破坏？图一(b)所示得铸铁试件在受到压缩或扭转时,为什么会沿与轴线成得斜面上发生破坏?这些都与结构内得主应力大小与方向有关。在图二(ａ）中,钢筋混凝土简支梁得两组主应力轨迹线就是根据主应力得方向绘制出来得，而图二(b)中梁内得弯起钢筋与纵向受力钢筋则就是根据图二（ａ)中梁得主应力轨迹线布置得。

图一

(a）

q

(ａ)

图二

（ｂ）

上述情况说明，在对结构进行强度分析或计算时，都要涉及到结构内主应力大小得计算与确定主应力方向得问题.一般情况下,主应力得大小可按特定得公式算出来,而在确定应力得方向时，人们往往不容易正确确定出来。本文就怎样快速准确确定主应力大小与方向作阐述与介绍。

二主应力大小及方向得确定方法

图三表示从某一构件中取出得单元体,设它处于平面应力状态下。假定在一对竖向平面上得正应力为,切应力为;在一对水平面上得正应力为y,切应力为y,它们得大小与方向已经求出。现要求出这个单元体得最大正应力、最小正应力即主应力得大小与方向。

对应力、与角度得正负号规定如下：正应力(或主应力)以拉应力为正，压

应力为负;切应力对单元体内得任一点以顺时针转为正,以反时针转时为负；角度以从ｘ轴得正向出发量到截面得外法成n就是反时针转为正,就是顺时针转为负.按照上述得规定,可以判断出,、、及就是正值；就是正值,就是正值，角就是负值。

（ａ)

主应力得确定方法有两种：一种就是解析法,一种就是应力圆法．下面分别讨论之。

1。确定主应力大小与主平面位置得解析法

(b)

图三

根据对主应力得定义,进行严格得数学推导,得出计算平面应力状态下单元得主

应力公式如下:

……(１）

由式(１)可以瞧出,有两个根。因为

说明与都能满足公式(１),这就就是说，处于平面应力状态下得单元体上有两个主平面,并且这两个主平面应就是互相垂直得。（单元体上切应力为零得平面称为主平面,主平面上得正应力即为主应力．）

两个主平面上得主应力大小得计算公式为

……(2)

利用公式(1)与（2）,在已知、y与得情况下，就可以很容易得求出两个主应力得大小与相应主应力得方向,并且与分别作用在两个互相垂直得平面上。如图中所示得单元体，只要确定了主平面eｆ得位置,另一个主平面gｆ得位置也就随之确定了。

现在得问题就是：在ef平面上,究竟作用得就是主应力呢？还就是主应力。这就需要我们认真加以研究对待了.我们已可以根据公式（2)计算出在平面应力状态下得两个主应力得数值与根据公式(1）算得x轴与某一个主平面外法线之间得夹角(也就就是与某一个主应力得夹角)，从而确定两个主平面得位置.但就是除了这些之外,我们还必须进一步判断出究竟就是与哪一个主应力得夹角，才能确定每一个主应力得方向。

由式(1）可以瞧出，得极值就是无穷大（当时得情况),即总就是小于或等于,因此总就是小于或等于得锐角,也就就是说由确定方向得那个主应力总就是偏向于x轴得。根据实践经验与理论分析知道,较大得主应力总就是偏向与中得较大者，较小得主应力则总就是偏向于与中得较小者.因此,可以归纳出确定主应力方向得规则如下:

当时,就是与两个主应力中代数值较大者得夹角;

当时,就是与两个主应力中代数值较小者得夹角；

当时,，主应力得方向可以从单元体上得应力情况直观判断出来。为了便于记忆，可把上述得规则通俗得叙述为:“小偏小来大偏大，夹角不比大”。

2。确定主应力大小与主平面位置得应力圆法

关于用应力圆确定主应力大小与主平面位置得方法,现以图四(a）所示得单元体为例介绍如下:首先根据单元体上得已知应力、、、ｙ作出应力圆如图四（ｂ)昕

示，然后从图上量得,。现证明如下:

因为:

合起来就就是：

它与由解析法求得得主应力计算公式(2）相同.

此外，主应力得方向也可以由图四(b）求得。因为为与所夹角得二倍

(即)，