数学建模方法及其应用：微分方程方法.ppt

数学建模方法及其应用

微分方程的一般理论；微分方程的平衡点及稳定性；主要内容案例：SARS的传播问题。第三章微分方程方法2

一、微分方程的一般理论开普勒通过长期观察和计算得出三大定律：太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆;行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；行星运动周期之平方与长轴之立方成正比。

一、微分方程的一般理论17、18世纪许多科学家致力于行星椭圆轨道的数学解释。胡克、惠更斯等人取得一些成果，但结果不理想。

一、微分方程的一般理论牛顿在研究变速运动过程中创造了微积分；认为行星的运动规律的背后一定有力学定律起作用牛顿利用开普勒的观测与微积分工具推广得出万有引力。1687年编入?自然科学之数学原理?

牛顿当时的推导过程是怎样的？

一、微分方程的一般理论太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一焦点的椭圆;

一、微分方程的一般理论行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；r??

一、微分方程的一般理论行星运动周期之平方与平均距离之立方成正比。即使太阳系别的行星，?也不改变。

一、微分方程的一般理论牛顿自己的结论：牛顿第二运动定律

一、微分方程的一般理论问题：行星运动过程中，力大小的规律是如何的？？？

一、微分方程的一般理论t时刻行星的位置？

一、微分方程的一般理论t时刻行星的速度？

一、微分方程的一般理论t时刻行星的加速度？？

一、微分方程的一般理论第二定律：行星的向径在单位时间扫过的面积是一个常数；

一、微分方程的一般理论

第一定律：椭圆轨道方程

引力大小引力方向

第三定律：行星运动周期之平方与长轴之立方成正比。一周扫过的面积。A：单位时间扫过的面积。

上述过程是轨道规律，得出万有引力公式如何研究月亮轨道？如何控制嫦娥号？

第三章微分方程方法一.微分方程的一般理论微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛和实际的应用。含有微分项的方程通称为微分方程。

23一、微分方程的一般理论1.微分方程的一般形式

24一、微分方程的一般理论1.微分方程的一般形式

25一、微分方程的一般理论1.微分方程的一般形式

26一、微分方程的一般理论2.微分方程解的存在唯一性问题：正规方程组〔2〕的解在什么条件下存在，且唯一呢？

27一、微分方程的一般理论2.微分方程解的存在唯一性

28一、微分方程的一般理论3.微分方程的稳定性问题微分方程所描述的是物质系统的运动规律，实际中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而忽略次要的因素，这种次要的因素称为干扰因素。干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。问题：在干扰因素客观存在的情况下，即干扰因素引起初值条件或微分方程的微小变化，是否也只引起对应解的微小变化？

292024年11月19日一、微分方程的一般理论3.微分方程的稳定性问题〔1〕有限区间的稳定性〔2〕无限区间的稳定性〔3〕渐近稳定性〔4〕经常扰动下的稳定性

第三章微分方程方法二.微分方程的平衡点及其稳定性实际中，对于很多问题的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某种理想状态下的解，这种解称为平衡点。

31二.微分方程的平衡点及其稳定性１．平衡点的概念

32二.微分方程的平衡点及其稳定性１．平衡点的概念问题：如何来断别平衡点的稳定性呢？

33二.微分方程的平衡点及其稳定性１．平衡点的概念

34二.微分方程的平衡点及其稳定性2.一阶方程的平衡点及稳定性

35二.微分方程的平衡点及其稳定性3.平面方程的平衡点及稳定性

36二.微分方程的平衡点及其稳定性3.平面方程的平衡点及稳定性

微分方程案例

38１．问题的提出

39１．问题的提出现在要求建立数学模型讨论的问题：(1)分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多因素之间的相互关系进行讨论；(2)在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.〔3〕分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。

402.模型的假设

413.模型的建立与求解

423.模型的建立与求解

433.模型的建立与求解

443.模型的建立与求解

453.模型的建立与求解

463.模型的建立与求解问题(2):在多兵种的作战条件下，对作战双方的战势进行评估分析.

473.模型的建立与求解

483.模型的建立与求解兰彻斯特多兵种作战模