14年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题.docxVIP

PAGE

14年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知

所以的可能取值范围是，应该选（B）．

2．下列曲线有渐近线的是

（A）（B）（C）（D）

【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线

应该选（C）

3．设函数具有二阶导数，，则在上（）

（A）当时，（B）当时，

（C）当时，（D）当时，

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（D）

4．曲线上对应于的点处的曲率半径是（）

（Ａ）（Ｂ）(Ｃ）（Ｄ）

【详解】曲线在点处的曲率公式，曲率半径．

本题中，所以，，

对应于的点处，所以，曲率半径．

应该选（C）

5．设函数，若，则（）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

【详解】注意（1），（2）．

由于．所以可知，，

．

6．设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）．

（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

（D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

【详解】在平面有界闭区域D上连续，所以在D内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

7．行列式等于

（A）（B）（C）（D）

【详解】

应该选（B）．

8．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件

【详解】若向量线性无关，则

（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．

而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．．

【详解】．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则．

【详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．

11．设是由方程确定的函数，则．

【详解】设，，当时，，，，所以．

12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为．

【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即

13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标．

【详解】质心坐标．

14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是．

【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

16．（本题满分10分）

已知函数满足微分方程，且，求的极大值和极小值．

【详解】

解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，

即．

令，得，且可知；

当时，可解得，，函数取得极大值；

当时，可解得，，函数取得极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域．计算

【详解】由对称性可得

18．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

【详解】

设，则，

;

；

由条件，

可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

其中为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为．

故非齐次方程通解为．

将初始条件代入，可得．

所以的表达式为．

19．（本题满分10分）

设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：

；

．

【详解】

（1）证明：因为，所以．

即．

（2）令，

则可知，且，

因为且单调增加，

所以．从而

，

也是在单调增加，则，即得到

．

20．（本题满分11分）

设函数，定义函数列

，，

设是曲线，直线所围图形的面积．求极限．