文科立体几何中的割补法教学 2019年精选文档 .pdfVIP

文科立体几何中的“割补法”教学

立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一，它也是

历年高考必考的重点内容，且题型、难度与分值比例长期保持相

对稳定，主要是集中考查空间位置关系的形化和量化，尤其是文

科的教学中更关注空间中平行与垂直的关系。但在教学实践中，

我发现文科学生对垂直的证明，如线线垂直、线面垂直的证明或

一些相关的计算题，如一类三棱锥的外接球的表面积、体积的计

算往往不尽如人意，常常在这方面失分。那么，如何更好掌握相

关知识呢？结合教学实际，我提倡使用“割补法”，即以正方体

或长方体为载体，在其中“裁剪”，找出合适的线线、线面、面

面位置关系加以研究。

一、从“形”上割补

1.割。正方体是空间各种位置关系的“集合体”，通常可以通

过将不规则或者特殊图形切割，构造为正方体关系，由此将题目

难度降低。

例1（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面

积是（B）

（A）372（B）360

（C）292（D）280

分析：由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体，只需割

成两个长方体即可，要注意其长宽高。．

例2（2010福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H

分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。

过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。

（2）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD

-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体

A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1,B1B上

运动且满足EF=a时，求p的最小值。

分析：第（2）问是借考几何概形来考察几何体的体积，也即

P=，而A1ABFE-D1DCGH=VABCD-A1B1C1D1-

VBEF-C1HG，即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三

棱柱的体积，而该三棱柱是倒放的。

当且仅当时等号成立

所以，p的最小值等于

2.补。高考试卷中考查的立体几何图形，大多可以还原为立体

几何图形，通过辅助方法，将不熟悉的图形还原为正方体关系，

可找出相应题型要求。

例3.（2010浙江）设l、m是两条不同的直线，a是一个平面，

则下列命题正确的是（B）

A.若l⊥m，ma，则l⊥a

B.若l⊥a，l∥m，则m⊥a

C.若l∥a，ma，则l∥m

l∥m则l∥a，m∥a若D.

解析：本题主要以符号语言给出，在判断的过程中，抽象地背

诵线线、线面之间位置关系的公理和判定定理等很难奏效，必须

正确画出图形，把符号语言转化为图形语言，然后依据图形研究、

判断，所以可以把所有这些关系放置在正方体模型中，如图所示

易知答案为B。

例4．:三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且PA=PB=PC=12，

求该三棱锥的外接球的表面积为_______432π_______

分析：抓住三条侧棱两两垂直且相等的特点，马上联想到正

方体，整个题目就转化成求正方体的外接球的表面积了，问题亦

迎刃而解。若是三条侧棱两两垂直且不相等，我们可以把它补成

长方体了。

例5：一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，

则该球的体积为________

分析：该几何体是正四面体，用传统的方法解答，其运算量是

较大的，而将该正四面体还原成棱长为1的正方体的外接球的

体积，这样在填空选择中可做到“快”“巧”“准”。

例6：某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条

棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条

棱的投影分别是长为ａ和ｂ的线段，则a＋b的最大值为分析：

由题意及三视图知识，眼中立即显现出一个长方体模型，其对角

线l长为，l在两个侧面和底面上的投影（三个矩形的对角线）

分别为、ａ和ｂ，则在设出长方体模型的棱长为ｘ、ｙ、ｚ后，

由x2+y2+z2=7，x2+y2=6，y2+z2=a，x2+z2=b，得到a2+b2=8，

从而a+b≤=4，故选C。

二.从“量”上割补

例如在课本必修（2）第69页有一道探究题：

如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些线面垂直，

哪些平面互相垂直，为什么？

我把该题作为高三年第一轮复习线线、线面、面面垂直的典型

例题，但学生在实际练习中的回答并不