数学学案：函数的应用（Ⅱ）（）.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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数学人教B必修1第三章3.4函数的应用(Ⅱ)

1．能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题．

2．了解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用．

3．培养学生应用数学的意识以及分析问题、解决问题的能力．

1．指数函数型增长的函数模型

指数函数y＝ax(a＞1)经复合可得到的指数型函数，指数型变化较快,例如生活中经常接触的储蓄问题，也就是增长率问题，就是指数型．

指数型增长随____不同而不同．

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息．我国现行定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄．

在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果基础量为a，平均增长率为r，则对于时间x的总量y＝a(1＋r）x，解决平均增长率的问题，可用此公式建立函数式．

【做一做1】在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4％，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x）的图象大致为(）

2．对数函数型增长的函数模型

对数函数y＝logax(a＞1）经复合可得到对数型函数，对数型增长的特点是________．

【做一做2】以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：

x

1

2

3

4

5

6

7

8

…

y1

2

4

8

16

32

64

128

256

…

y2

1

4

9

16

25

36

49

64

…

y3

0

1

1.5850

2

2。3219

2。5850

2。8074

3

…

其中，关于x有可能成对数型函数变化的函数是__________．

3．幂函数型增长的函数模型

幂函数y＝xn（n＞0)经过复合可以得到幂函数型函数，其增长变化率也较快．例如球的体积V随半径R的增大而变化的关系就是幂函数型的关系，体积是半径的函数V＝______.

随着x的增大,若y＝xn（n＞0）比起y＝ax（a＞1）增长速度来，是____增长得快．

【做一做3】今有一组实验数据如下:

t

1.99

3。0

4.0

5.1

6。12

v

1。5

4.04

7.5

12

18.01

现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(）

A．v＝log2tB．

C．v＝eq\f(t2－1，2）D．v＝2t－2

一、幂函数、指数函数、对数函数三种函数模型的增长情况比较

剖析：一般地,对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0）,通过探索可以发现，在区间（0,＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn,但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn。

同样地,对于对数函数y＝logax(a＞1）和幂函数y＝xn（n＞0)，在区间（0,＋∞)上,随着x的增长，logax增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但是由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0,当x＞x0时，就会有logax＜xn.

综上所述，在区间(0,＋∞)上,尽管函数y＝ax（a＞1),y＝logax(a＞1）和y＝xn（n＞0）都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度,而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.函数y＝ax(0＜a＜1)，y＝logax(0＜a＜1),y＝xn（n＜0)都是减函数,它们的递减速度都是先快后慢（x＞0）,y＝ax(0＜a＜1),y＝xn（n＜0）逐渐趋向于x轴的正半轴，而对数函数继续较快递减，但比一次函数递减的速度慢得多，可以说是不在同一“档次”上．如下图所示部分函数图象可见一斑．

二、常见的数学模型

剖析：利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的．具体函数的运用在生活中有很多体现，在学习完函数这部分内容以后，重点运用一次函数、二次函数、分段函数、指数函数、对数函数和幂函数来解决问题．下面是几种常见的数学模型：

(1)平均增长率问题:如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p，则对于时间x的产值或产量y＝N(1＋p）x。

（2)储蓄中的复利问题:如果本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,则y＝a（1＋r)x.

（3）根据几何、物理概念建立的函数关系，如位移、速度、时间的函数关系，灌溉渠的横截面面积A和水深h的函数关系．

(4）通过观察、实验建立的函数关系，如自由落体的距离公式等．

数据