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实验一快速Fourier变换(FFT)及其应用

一、实验目的

1．在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉FFT子程

序。

2．熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。

3.了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正

确应用FFT。

4．熟悉应用FFT实现两个序列的线性卷积的方法。

5．初步了解用周期图法作随机信号谱分析的方法。

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二、实验原理与方法

在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有限长序列，

我们可以使

用离散Fouier变换(DFT)。这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且

易于用快速算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：

反变换为：

有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列Fourier

变换的等距采样，因此可以用于序列的谱分析。

FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速

算法。

它是对变换式进行一次次分解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。

常用的FFT是以2为基数的，其长度。它的效率高，程序简单，使用非

常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方时，为了使用以2为基数的

FFT，可以用末位补零的方法，使其长度延长至2的整数次方。

(一)、在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三种误差：

(1)混叠

序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不满足Nyquist定理时，

就会发生频谱混叠，使得采样后的信号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。

避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使频谱混叠现象不致出现，即

在确定采样频率之前，必须对频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高

于折叠频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。

(2)泄漏

实际中我们往往用截短的序列来近似很长的甚至是无限长的序列，这样可以

使用较短的DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于给原信号序列乘以一个

矩形窗函数，也相当于在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积，所得的频

谱是原序列频谱的扩展。

泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少

泄漏的影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减至最小。

(3)栅栏效应

DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函

数，就一定意义上看，用DFT来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一

样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点或谷点

被“尖桩的栅栏”所拦住，不能别我们观察到。

减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的末端填补一些零值，从而变

动DFT的点数，这一方法实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，

相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得频谱的峰点或谷点暴露出来。

(二)、用FFT计算线性卷积

用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周卷积等

于线性卷积。一般情况，设两个序列的长度分别为N和N，要使圆周卷积等于

12

线性卷积的充要条件是FFT的长度

N≥N＋N

12

对于长度不足N的两个序列，分别将他们补零延长到N。

当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的方法。有

两种方法：

重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用FFT对它们作



线性卷积，再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。

重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重叠的



部分，在构成总的卷积输出时只需