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奔驰定理与四心问题
【考点预测】
一、四心的概念介绍：
(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．
(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二、奔驰定理解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
x+x+xy+y+y
123
已知△ABC的顶点A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，则△ABC的重心坐标为G123，.
11223333
注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0．
(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
11
重心的向量表示：AG=3AB+3AC．
⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0:λ:λ
奔驰定理：S，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于λ
ABC321
OA=OAOB=OBOC=OC+OB+OC=0
奔驰定理证明：如图，令λ，λ，λ，即满足OA
112131111
S1S1S1
△AOB=△AOC=△BOC=:S:S=λ:λ:λ
，，，故S.
SλλSλλSλλ△AOB△AOC△BOC321
△AOB12△AOC13△BOC23
1111
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