专题圆锥曲线中证明问题探究性五篇-2019高考数学压轴命题区间与突破版.pdfVIP

一．方法综述

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方

面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；

二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何

性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性

较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最

值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.

本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线中的证明问题、探究性问

题的解法.

二．解题策略

类型一证明问题

【例1】【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三摸底】设椭圆，右顶点是

，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.

【答案】（1）；（2）.

（2）当直线斜率不存在时，设，

与椭圆方程联立得：，，

设直线与轴交于点，，即，

∴或(舍），

∴直线过定点；

当直线斜率存在时，设直线斜率为，，则直线，与椭圆方程

联立，得，

，，，

，

，则，

即，

∴，

∴或，

∴直线或，

∴直线过定点或舍去；

综上知直线过定点.

【例2】【东北师范大学附属中学2018届五模】已知椭圆的离心率为，点

在上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；]

（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：

为定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

（Ⅰ）由题可得，

且：，，

所以

所以椭圆.

【指点迷津】

(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在

某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二