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湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设复数，则的虚部为（???）

A．2i B． C．2 D．

2．已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（???）

A． B． C． D．

3．已知，则在方向上的投影向量的坐标为（???）

A． B． C． D．

4．圆与圆的公共弦长为（???）

A． B． C． D．

5．已知平面向量满足.则向量与向量的夹角为（???）

A． B． C． D．

6．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和不超过6”，事件“摸出的两个球的编号都大于3”，事件“摸出的两个球中有编号为4的球”，则（???）

A．事件与事件是相互独立事件 B．事件与事件是对立事件

C．事件与事件是互斥事件 D．事件与事件是互斥事件

7．如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（???）

A． B． C． D．

8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法不正确的是（???）

A．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

B．不与坐标轴平行或重合的直线，其方程一定可以写成两点式

C．是直线与直线垂直的充要条件

D．是直线与直线平行的充要条件

10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（???）

A．的最小值为

B．当与垂直时，直线与平面所成的角的正切值为

C．三棱锥体积的最小值为

D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为

11．已知曲线，点为曲线上任意一点，则（???）

A．曲线的图象表示两个圆 B．的最大值是

C．的取值范围是 D．直线与曲线有且仅有2个交点

三、填空题

12．经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为.

13．在平面直角坐标系Oxy中，圆上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围为.

14．已知实数满足，则的最大值为．

四、解答题

15．在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为.

(1)求直线AC的方程；

(2)求直线AB的方程.

16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

(1)求；

(2)若的面积为，求BC边上中线的长.

17．黄石二中举行数学竞赛校内选拔赛（满分100分），为了了解本次竞赛成绩的情况，随机抽取了100名参赛学生的成绩，并分成了五组：第一组50,60，第二组60,70，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.

(1)求出频率分布直方图中a，b的值，并估计此次竞赛成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此估计这次第二组和第四组所有参赛学生成绩的方差；

(3)甲、乙、丙3名同学同时做试卷中同一道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为，假设他们三人是否解出该题互不影响，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.

18．如图，在四棱锥中，为等边三角形，，为AD的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)若点在线段上运动（不包括端点），设平面平面，当直线与平面所成角取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值.

19．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数且，那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，已知直线，直线，点为和的交点.

(1)求点的轨迹方程；

(2)点为曲线与轴正半轴的交点，直线交曲线于A，B两点，与A，B两点不重合，直线MA、MB的斜率分别为，且，证明直线过定点，并求出该定点；

(3)当点在曲线上运动时，求的最小值.

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