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多面体外接球、内切球半径常见的5种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个
球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个
热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意
多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求
法在解题中往往会起到至关重要的作用
公式法
例i一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同
一个球面上，且该六棱柱的体积为9
3,
-，底面周长为则这个球的体积为
8
6x3,1
解设正六棱柱的底面边长为xh93匚x2,
，高为，则有2
xh,
4h3.
8
正六棱柱的底面圆的半径丄，球心到底面的距离子•外接球的半径
2
、2d21
R•rV
.球—
3
小结本题是运用公式R222rd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式
多面体几何性质法
已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16,则这个球的表面
积是
A.16B.20C.24D.32
解设正四棱柱的底面边长为外接球的半径为R，则有4x216，解得x2.
•2R.22224226,R6.•这个球的表面积是2
4R24.选C.
小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.
补形法
例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是
解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，•把这个三棱锥可以补成一个棱长为
.3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球
22229设其外接球的半径为R，则有2R,3■3.3
9./•R2-.
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