过定点的直线系应用.docxVIP

1、过定点直线系方程在解题中的应用

过定点〔，〕的直线系方程：〔A,B不同时为0〕.

例1求过点圆的切线的方程．

分析：此题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.

解析：设所求直线的方程为〔其中不全为零〕，

那么整理有，

∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，

整理，得，即〔这时〕，或．

故所求直线l的方程为或．

点评：对求过定点〔，〕的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:，注意的此方程表示的是过点的所有直线〔即直线系〕，应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以防止分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．

练习：过点作圆的切线l，求切线l的方程．

解：设所求直线l的方程为〔其中不全为零〕，

那么整理有，

∵直线l与圆相切，∴圆心到直线l的距离等于半径1，故，

整理，得，即〔这时〕，或．

故所求直线l的方程为或．

2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用

过直线：〔不同时为0〕与：〔不同时为0〕交点的直线系方程为：〔，为参数〕.

例2求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

分析：此题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.

解析：设所求直线方程为：，

当直线过原点时，那么=0，那么=－1，

此时所求直线方程为：；

当所求直线不过原点时，令=0，解得=，

令=0，解得=，

由题意得，=，解得，

此时，所求直线方程为：.

综上所述，所求直线方程为：或.

3、求直线系方程过定点问题

例3证明：直线(是参数且∈R)过定点，并求出定点坐标.

分析：此题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.

解析：〔恒等式法〕直线方程化为:,

∵∈R,∴，解得，，，

∴直线(是参数且∈R)过定点〔1,1〕.

〔特殊直线法〕取=0，=1得，，，联立解得，，，

将〔1,1〕代入检验满足方程，

∴直线(是参数且∈R)过定点〔1,1〕.

点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，那么恒等式个系数为0，列出关于的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.